Implicación de una ecuación asintótica.

Question

Dejemos que $(z_n)$ sea alguna secuencia cero, $\lim_{n\to\infty}z_n=0$ .

Supongamos que la ecuación $$(n-1)\cdot z_n+O(n\cdot z_n^2)+\log(z_n)=0\text{ as }n\to\infty.$$ se mantiene.

Demuestre que esto implica $\lim_{n\to\infty}n\cdot z_n^2=0$ .

¿Puede ayudarme?

Answer 1

Dejemos que $f(n)=O(nz_n^2)$ Es decir $|f(n)|\le C|nz_n^2|$ para un tamaño suficientemente grande $n$ .

Dejemos que $r_n = (n-1)z_n + f(n) + \log(z_n)$ . Multiplicando por $z_n$ y resolviendo para $nz_n^2$ rendimientos:

$$n z_n^2 = r_nz_n + z_n^2 - z_n\log(z_n) - z_nf(n)$$

Tomando los valores absolutos y aplicando la desigualdad del triángulo se obtiene

$$|nz_n^2| \le |r_nz_n+z_n^2 - z_n\log(z_n)| + |z_n| \cdot C |nz_n^2|$$

Por lo tanto,

$$|nz_n^2| \le \underbrace{\frac{1}{1-|z_n|C}}_{\to 1}|\underbrace{r_nz_n}_{\to 0}+\underbrace{z_n^2}_{\to 0} - \underbrace{z_n\log(z_n)}_{\to 0}| \longrightarrow 0$$