¿Cómo puedo definir el producto de dos ideales de forma categórica?

Question

Dado un anillo conmutativo $R$ existe una categoría cuyos objetos son epimorfismos homomorfismos suryentes de anillos $R \to S$ y cuyos morfismos son triángulos conmutativos que hacen que dos tales epimorfismos compatibles, y el esqueleto de esta categoría es un orden parcial que puede identificarse con la red de ideales de $R$ . Ahora bien, siempre he tenido la impresión de que todo lo que se puede decir sobre los ideales se puede expresar en este lenguaje puramente teórico de las flechas: lo más importante es que la intersección de ideales es el producto en esta categoría y la suma de ideales es el coproducto. (Dado que estamos trabajando en un orden parcial, producto y coproducto son formas extravagantes de decir supremacía e ínfima. El sentido del ordenamiento implícito en los ideales puede diferir aquí del que estás acostumbrado, pero eso no es importante).

Sin embargo, Harry ha hecho algunos comentarios recientemente que me han hecho ver que no sé cómo definir el producto de dos ideales puramente en términos de esta categoría, es decir, mediante una construcción universal como la anterior. Me sorprendería mucho que esto no fuera posible, así que quizás me estoy perdiendo algo obvio. ¿Alguien sabe cómo hacerlo?

Answer 1

¡Buena pregunta! La respuesta es que no es posible. Deje que $R=\mathbb{F}_3[x,y]/(x^2,y^2)$ . La red de ideales está formada por los ocho ideales

$(1)$

$(x,y)$

$(x)$ $(y)$ $(x+y)$ $(x-y)$

$(xy)$

$(0)$ ,

en el que cada ideal contiene todos los ideales de los niveles inferiores. En el nivel medio, algunos de los ideales tienen el cero cuadrado, y otros no, pero no se puede saber cuáles son simplemente mirando la red (sin etiquetar).

Answer 2

La respuesta de Bjorn muestra que el producto de dos ideales no se puede definir mediante el conjunto parcialmente ordenado de ideales. Sin embargo, hay es una definición categórica del producto de dos ideales si nos permitimos utilizar la categoría de módulos. Esto funciona gracias al teorema de reconstrucción de Rosenberg.

Explícitamente, existe una biyección entre ideales de $R$ y subcategorías reflexivas y topologizantes de $\text{Mod}(R)$ que viene dado por $I \to \{M \in \text{Mod}(R) : I M = 0\}$ . Si $T$ es una subcategoría de este tipo con reflector $F : \text{Mod}(R) \to T$ entonces el ideal correspondiente es $I=\ker(R \to F(R))$ . Ahora, la multiplicación de ideales corresponde al llamado producto de Gabriel: Si $S,T$ son subcategorías de una categoría abeliana, entonces $S \bullet T$ es la subcategoría que consiste en aquellos objetos $M$ para la que existe una secuencia exacta $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ con $M' \in T, M'' \in S$ . La idea de la notación es $(S \bullet T)/T = S$ .