Irreductibilidad de $Sym^2$ y $\Lambda ^ 2$ representaciones

Question

Me dan una representación $\Pi : \mathrm{Gl}(n,\mathbb{C}) \rightarrow \mathrm{Aut}(\mathrm{Mat}_{n\times n}(\mathbb{C}))$ por $\Pi(g) = gXg^T$ (¿tiene nombre?). A continuación, las representaciones $\mathrm{Sym}^2$ y $\Lambda^2$ definida de la manera habitual - restringiendo $\Pi$ al conjunto de matrices simétricas y antisimétricas, respectivamente.

Necesito demostrar que cada una de esas representaciones es irreducible.

Empecé a probar por contradicción, tratando de demostrar que cada vector base estará en el subespacio. Así, para la representación simétrica intenté utilizar la propiedad de diagonalización ortogonal de las matrices simétricas (para cada simétrica $X$ hay $Q$ - ortogonal y $D$ diagonal, tal que $X = QDQ^T$ ), pero ese camino sólo sirve para matrices simétricas reales, y por tanto, en mi caso, requiere manejar tanto la parte real como la imaginaria.

Estoy casi seguro de que hay una prueba, que requiere menos técnica, pero me cuesta encontrarla. También tengo conocimientos bastante básicos de la teoría de la representación, así que tal vez me estoy perdiendo algo.

Agradeceré cualquier pista.

Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que tu idea funciona sin demasiada dificultad. Considere $Sym^2$ primero. Demostraré que cualquier matriz simétrica está en la subrepción $V$ que contiene la matriz de identidad $I$ . Actuando sobre $I$ por elementos de la forma $g = \operatorname{diag}(\sqrt a_1, \ldots, \sqrt a_n)$ muestra que cualquier matriz diagonal está en $V$ . Ahora bien, dado cualquier $Z = X + i Y$ simétrico, ambos $X$ y $Y$ son simétricos. Entonces, por el teorema espectral, tanto $X$ y $Y$ son diagonalizables por matrices simétricas de modo que $X,Y \in V$ . Así, $Z = X+iY \in V$ .

Para los antisimétricos, un argumento similar probablemente funcione utilizando esta descomposición: http://en.wikipedia.org/wiki/Skew-symmetric_matrix#Spectral_theory .