Una aclaración sobre la convergencia estable de matrices triangulares de variables aleatorias

Question

Consideremos el siguiente teorema importante, debido a Jacod (1997) sobre la convergencia estable de matrices triangulares de variables aleatorias. En lo que sigue $\mathcal{F}_t$ indica una filtración en $[0,1]$ y $t_{j,n}$ es una partición del intervalo de tiempo $[0,1]$ .

Mi pregunta: ¿es estrictamente necesario que el condicionamiento que aparece en las condiciones de $1)$ a $5)$ se toma con respecto a $\mathcal{F}_{t_{j-1,n}}$ ? ¿Seguiría siendo válido el teorema si, por ejemplo, se condicionara con respecto a $\mathcal{F}_{t_{j-2,n}}$ ¿se considera?

Answer 1

He aquí algunas ideas, por ejemplo para el supuesto 1. Sea $$ \tag{1'}\sum_{j=1}^n\mathbb E\left[Y_{t_{j,n}}\mid\mathcal F_{t_{j-2},n}\right]\to 0 \mbox{ in probability}. $$ Si (1') se cumple, para comprobar (1), tenemos que demostrar que $$ \tag{1'}\sum_{j=1}^nd_{n,j}\to 0 \mbox{ in probability}, $$ donde $d_{n,j}=\mathbb E\left[Y_{t_{j,n}}\mid\mathcal F_{t_{j-1},n}\right]-\mathbb E\left[Y_{t_{j,n}}\mid\mathcal F_{t_{j-2},n}\right]$ . El hecho de que $\left(d_{n,j}\right)$ es una secuencia de diferencia de martingala puede ayudar.