¿Esta definición de función es errónea?

Question

Estoy leyendo Variables Complejas de Churchill y el autor define la generalización de una función de la siguiente manera:

Una regla que asigna más de un valor a un punto z en el dominio de definición.

Esta afirmación me está dando problemas porque la interpreto como $w\neq u \implies f(z)=w\,\wedge\, f(z)=u$ que no es la definición de una función. ¿Cómo debo interpretar la afirmación anterior?

Answer 1

No hay mucho contexto para deducir lo que quiere decir. De todos modos, una función es una regla que asigna un objeto a otro. Si tienes dos conjuntos $X,Y$ entonces lo que el autor probablemente quiso decir es que se pueden definir funciones de la forma $$f :X\to 2^Y\equiv P(Y), $$ el conjunto de energía de $Y$ . Un ejemplo típico es el siguiente. Tomemos una función $$ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. $$ Si la función es inyectiva, entonces su inversa está bien definida. En caso contrario, sigue teniendo sentido considerar una inversa multivaluada $f^{-1}:\mathbb{R}\to 2^\mathbb{R}$ de la siguiente manera $$ f^{-1}(y) = \{y\in \mathbb{R}: f(x)=y\}. $$ Tome $f=x^2$ y $g=x^3$ . $g^{-1}(x)=x^{1/3}$ , mientras que $$ f^{-1}(x) = \{+ \sqrt{x}, -\sqrt{x}\}, \quad x\geq 0. $$

Answer 2

Como se señala en los comentarios a su pregunta, en el análisis complejo, un función multivaluada $f$ en el plano complejo $\Bbb C$ no es una función, sino una relación que, dada $z\in\Bbb C$ ofrece una gama de opciones para el valor $f(z)$ . No hay una forma fija de decidir cuál de las opciones es la adecuada; depende del contexto. Una forma de fijar una elección es "cortar" el plano complejo. Si queremos mantener la continuidad, es posible que tengamos que saltar de una opción de la lista a otra.

La forma de dar un sentido riguroso a estas "funciones" es sustituir el dominio o rango $\Bbb C$ por un colector adecuado a la función. Se trata de algo así como un aparcamiento de varios niveles que se extiende hasta $\Bbb C$ .