Nota : En esta pregunta he de hablar más de un cálculo/punto de vista operativo, como opuesta a una más teóricos (Análisis) punto de vista.
Cuando el estudio de Cálculo Diferencial, he encontrado que hay muy poco que yo tenía que memorizar. Prácticamente todas cálculo aspectos, tales como la búsqueda de derivados, etc., y algunos teoremas, podrían derivar en el lugar a través de métodos básicos.
Como ejemplos, a través de básica implícita diferenciación, uno podría demostrar el teorema de la función inversa, dentro de un par de líneas.
$$\text{Inverse Function Theorem}\ \ \ \ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$
O si yo quería encontrar a $\dfrac{d}{dx}\ \tan^{-1}(x)$, podría usar el teorema de la función inversa y con la ayuda de una identidad trigonométrica encontrar la derivada con bastante facilidad. No tuve que memorizar $\dfrac{d}{dx}\ \tan^{-1}(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$. De hecho, aparte de los derivados de la $\sin(x)$, $\sinh(x)$ y $\cos(x)$, $\cosh(x)$, yo no memorizar cualquiera de los demás derivados de las funciones trigonométricas, acabo de volver a derivar de ellos el uso de reglas básicas de diferenciación cada vez.
Sin embargo, me di cuenta de que a la hora de estudiar el Cálculo Integral, tiende a ser mucho más que uno solo tiene que comprometerse a la memoria. Por ejemplo, si quería evaluar la siguiente integral $$\int \dfrac{1}{1+x^2}\ dx$$
La única manera de que yo pudiera evaluar la integral, lo estaría si supiera $\dfrac{d}{dx}\ \tan^{-1}(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$, lo que requeriría que yo había memorizado la derivada (algo que hice mi mejor esfuerzo para no hacer a la hora de estudiar el cálculo diferencial).
Cuando el estudio de las Matemáticas, para la mayor parte (y dentro de lo razonable, por supuesto) lo mejor de mí nunca a memorizar lo puedo volver a derivar/probar. He descubierto que este enfoque ayuda a mejorar mis habilidades, y me empuja a la búsqueda de la más profunda comprensión posible.
Pero parece que hay algunas cosas, que sólo tiene que ser comprometido en la memoria para ser capaz de hacer cualquier tipo de progreso, y esto me preocupa bastante, ya que no estoy seguro de lo que debe ser sólo la memorización, y lo que realmente debería estar trabajando para obtener la mejor comprensión.
Además, la Integración es muy heurística del proceso, mientras que la Diferenciación es una de las más algorítmico proceso. Generalmente tratamos de conseguir las integrales en las formas sabemos de lo que podemos evaluar de ellos (con la excepción de que el algoritmo de Risch), o sería imposible evaluar en ellos por cualquier otro medio. No que requieren de uno a memorizar los distintos tipos de posibles integrales?
En primer lugar, estoy mirando esta mal? Hay maneras en que uno puede reprobar los resultados, o evaluar las integrales, de una manera que no requiere que uno solo de memorizar y recordar una lista de fórmula como un loro?
¿Qué aspectos de Cálculo Integral diría usted, sólo tiene que ser memorizado, es decir, lo que resulta en el Cálculo Integral son casi imposible volver a derivar o probar sobre el terreno?
¿Dónde trazar la línea entre lo que debe ser mirado mucho y duro por la más profunda comprensión posible, y lo que debería ser simplemente memorizado?
Por último, me corrigen si estoy equivocado, pero como se hace la transición a la mayor de las matemáticas (análisis y más allá), que hay algunas cosas que usted tiene que comprometerse a la memoria, para ser capaz de hacer cualquier tipo de progreso?
