Cálculo de grupos fundamentales y cohomología singular de variedades proyectivas

Question

¿Existe algún método general para calcular el grupo fundamental o la cohomología singular (incluyendo la estructura de anillo, con suerte) de una variedad proyectiva (sobre C, por supuesto), si se dan las ecuaciones que definen la variedad?

Creo recordar que, si la variedad es lisa, podemos calcular las H^{p,q} por ordenador -- y por tanto las H^n por descomposición de Hodge -- ¿es esto correcto? Sin embargo, esto no funcionará si la variedad no es suave -- ¿hay alguna técnica que funcione incluso para cosas no suaves?

También me parece recordar algún argumento de que, al menos si restringimos nuestra atención a las cosas suaves solamente, todas las variedades definidas por polinomios de los mismos grados serán homotópicas equivalentes. La homotopía debería obtenerse cambiando lentamente los coeficientes de los polinomios. ¿Es cierto algo así? ¿Funciona algún tipo de argumento como éste?

Answer 1

No es la respuesta más limpia (si es demasiado confusa para seguirla, puedo limpiarla un poco) pero mira la sección 2.4 (que empieza en la página 14) de estos apuntes de un curso de geometría algebraica compleja que tomé. Además, la sección/capítulo 6 de la página 33 retoma el hilo después de algunos desvíos sobre curvas. Pero a grandes rasgos, la cohomología (en concreto, la descomposición de Hodge) sólo depende del ideal jacobiano.

Answer 2

En primer lugar, suponemos que sus ecuaciones tienen coeficientes racionales; si no es así, probablemente pueda "aproximar" su variedad por una variedad definida sobre racionales sin cambiar su topología (aunque hay que tener cuidado aquí).

Ahora, multiplicando las ecuaciones por el denominador común, se obtienen ecuaciones con coeficientes integrales. Entonces puedes considerar estas ecuaciones sobre campos finitos (y obtienes ciertas 'reducciones mod p' de tu variedad).

Creo (y probablemente pueda demostrar) que para p suficientemente grande, entonces la cohomología etale de esta reducción es isomorfa a las de la variedad original; y la cohomología etale sobre números complejos es isomorfa a la cohomología singular con coeficientes l-ádicos.

Por último, se pueden calcular los números de Betti sobre un campo finito mediante el cálculo del número de puntos de esta variedad sobre extensiones de este campo. Todavía no estoy seguro de que este algoritmo sea óptimo:)

Answer 3

He aquí un caso especial interesante. Si X es un politopo convexo simple, los números de Betti h(X) de la variedad tórica asociada pueden calcularse a partir del vector de caras f(X). De hecho, h(X) = Cf(X) donde C es una matriz de coeficientes binomiales. Esto está estrechamente relacionado con el argumento de Peter McMullen para demostrar las ecuaciones de Dehn-Sommerville.

Este es otro caso especial. Para ciertos politopos convexos generales los números de Betti son no una función lineal del vector bandera. Esto se hizo mediante cálculos explícitos (utilizando Macaulay, si no recuerdo mal) por Mark McConnell. Sin embargo, los números de Betti de la homología de intersección de perversidad media (mpih) de la variedad tórica asociada son una función lineal del vector bandera.

La estructura del anillo en la homología de la variedad tórica asociada a un politopo simple está estrechamente asociada al volumen del politopo, ya que varía cuando las facetas se mueven hacia dentro y hacia fuera.

Finalmente, si la variedad está definida sobre, digamos, los racionales, entonces se puede reducir mod p y empezar a contar puntos, y luego aplicar las conjeturas de Weil para determinar los números de Betti. De hecho, esta es una forma rápida de determinar los números de Betti de una variedad tórica suave.

Answer 4

Creo que se puede tener una curva elíptica y una curva elíptica singular, ambas descritas por ecuaciones de grado tres. Algunas personas que saben más deben ser capaces de responder a esto. Si cambias los coeficientes supongo que el tipo de homotopía puede cambiar, sólo imagina que alguna subvariedad degenera en algo singular y luego se expande de nuevo a otra cosa en el otro lado.

Incluso a nivel algebraico creo que se puede tener (un conjunto mínimo de) polinomios de diferentes grados que definan el mismo ideal.

Otro pensamiento (o variante de tu pregunta)... si empiezas con alguna subvariedad Y y tomas una sección hiperplana X, entonces X se recorta por lo mismo que se recorta Y junto con otro polinomio lineal. Toda la cohomología de X está determinada excepto en la dimensión media por el teorema del hiperplano de Lefschetz. ¿Cómo determinan los coeficientes que describen el hiperplano esta cohomología media, incluyendo los productos de copa? (Supongo que la respuesta es bien conocida).