Cálculo de grupos fundamentales y cohomología singular de variedades proyectivas

Question

¿Existe algún método general para calcular el grupo fundamental o la cohomología singular (incluyendo la estructura de anillo, con suerte) de una variedad proyectiva (sobre C, por supuesto), si se dan las ecuaciones que definen la variedad?

Creo recordar que, si la variedad es lisa, podemos calcular las H^{p,q} por ordenador -- y por tanto las H^n por descomposición de Hodge -- ¿es esto correcto? Sin embargo, esto no funcionará si la variedad no es suave -- ¿hay alguna técnica que funcione incluso para cosas no suaves?

También me parece recordar algún argumento de que, al menos si restringimos nuestra atención a las cosas suaves solamente, todas las variedades definidas por polinomios de los mismos grados serán homotópicas equivalentes. La homotopía debería obtenerse cambiando lentamente los coeficientes de los polinomios. ¿Es cierto algo así? ¿Funciona algún tipo de argumento como éste?

Answer 1

Esta es una pregunta interesante. Para repetir algunas de las respuestas anteriores, uno debería ser capaz de poner las manos en una triangulación algoritmicamente usando métodos algebro-geométricos reales, y así calcular la cohomología singular y (una presentación para) el grupo fundamental. Pero, en la práctica, esto debería ser el último recurso. En el caso de las variedades proyectivas lisas, como se ha señalado, se pueden calcular los números de Hodge escribiendo una presentación para las formas p de la gavilla y aplicando luego las técnicas estándar de las bases de Groebner para calcular la cohomología de la gavilla. Esto funciona bastante bien en un ordenador. Para clases específicas, hay métodos mejores. Para intersecciones completas suaves, hay una función generadora de números de Hodge debida a Hirzebruch (SGA 7, exp XI), que es extremadamente eficiente de usar.

En cuanto al grupo fundamental, si tuviera que calcularlo para una variedad proyectiva lisa general, probablemente utilizaría un lápiz de Lefschetz para anotar una presentación.

Para las variedades singulares, todavía se pueden definir los números de Hodge utilizando la estructura mixta de Hodge en la cohomología. La suma de estos números siguen siendo los números de Betti. Espero que estos números de Hodge sigan siendo computables, pero sería algo desagradable escribir un algoritmo general. El primer paso es construir una resolución simplicial utilizando la resolución de singularidades. Mis colegas que saben de resoluciones me aseguran que esto se puede hacer algorítmicamente hoy en día.

(Esta es mi primera respuesta en este foro, espero que salga adelante).

Answer 2

Sólo quiero asegurarte que todo en esta situación es computable. Para cualquier conjunto real semialgebraico, existe un algoritmo llamado descomposición cilíndrica que lo rompe en trozos contraíbles, pegados a lo largo de trozos contraíbles. Véase Algoritmos en geometría algebraica real de Basu, Pollack y Roy. El $\mathbb{C}$ -puntos de un $\mathbb{C}$ -son, en particular, un conjunto semialgebraico, por restricción de escalares.

Así que puedes calcular la cohomología, y puedes calcular una presentación de $\pi_1$ . Por supuesto, como siempre que se trata de grupos en términos de generadores y relaciones, probablemente no será computable determinar si ese grupo es trivial, o es isomorfo a algún otro grupo dado por generadores y relaciones.

Sin embargo, estoy bastante seguro de que no es así como se calculan realmente estas cosas. Espero que alguien dé una respuesta que refleje el estado actual de la técnica.

Answer 3

En cuanto a tu tercer párrafo, deja que p : X ---> B sea un mapa propio y suave de variedades sobre C, y por si acaso digamos que B es suave. Aquí estoy pensando que B es tu espacio de posibles coeficientes en la ecuación, y las fibras de p son las variedades de las que estás hablando. Entonces, en los puntos complejos, p es una inmersión propia entre variedades, y por lo tanto, una fibración de espacios topológicos; por lo tanto, las fibras de p serán homotópicamente equivalentes siempre que B sea conectado, canónicamente equivalentes (hasta el segundo orden de homotopía) si B es simplemente conectado, y realmente canónicamente equivalentes si B es contráctil, por ejemplo, un espacio afín.

Answer 4

El truco que conozco (lo aprendí de Ron Livne) es proyectarlo a algún espacio con homotopía / homología conocida, desechar la ramificación y los lugares de ramificación para obtener un mapa de cobertura (y más vale que reces para que sea de Galois - de lo contrario el lío es aún mayor) , y luego traer la ramificación de vuelta como relaciones adicionales.

Por ejemplo, aquí hay un cálculo del grupo de homotopía de una curva elíptica E:

Tiene una proyección de grado 2 a un P 1 con cuatro puntos de ramificación. El grupo de homotopía de P 1 menos los cuatro puntos de bifurcación se genera libremente mediante bucles sobre 3 de estos puntos.

Afirmación: el grupo de homotopía de E menos el locus de ramificación el núcleo del mapa del grupo libre sobre tres generadores F(a,b,c) a Z / 2, dado por la suma de las potencias de todas las letras y tomando mod 2 (por ejemplo, abbac -1 b corresponde a 4 mod 2 = 0).

Esquema de la prueba: pensar en a,b,c, como caminos en E menos los puntos de ramificación que tienen que pegar a un bucle cerrado, y proyectar a los generadores de la homotopía de P 1 menos los puntos de ramificación (es decir, son "medios bucles" / intercambio de hojas sobre los puntos de ramificación).

Por último, tenemos que "rellenar" los puntos de ramificación, es decir, llevar las relaciones adicionales a 2 , b 2 , c 2 . Tras añadir estas relaciones, nuestro grupo queda generado por ab, ba, ac, ca, bc, cb. Por lo tanto - ya que por ejemplo (bc)(cb) = 1 - está generado por ab, ac, bc; por lo tanto - ya que (ab)(bc) = (ac) - está generado por ab, ac. Ahora observamos que el mapa que envía x a axa es el mapa que envía un elemento a la inversa; lo que muestra como

(ab)(ca)(ab) -1 \= (ab)(ca)(ba) = (bc) -1 ba = (cb)(ba) = ca.

Tenga en cuenta que este es el ejemplo más simple que se puede dar - este es un truco doloroso.

Answer 5

Aparentemente se pueden calcular las h^{p,q} de las cosas suaves en, por ejemplo, Macaulay. Aquí hay un ejemplo: calcular las h^{p,q}'s de una hipersuperficie quíntica en P^4 .