¿Instrumentos para el programa Langlands?

Question

Hola,

Sé que esto puede ser un poco vago, pero me preguntaba cuáles son las herramientas hipotéticas necesarias para resolver las conjeturas de Langlands (los enunciados originales o el análogo "geomático"). Lo que quiero decir con esto es lo siguiente: para las conjeturas de Weil quedó claro que, para demostrarlas, había que desarrollar una maravillosa teoría de cohomología que explicara las observaciones de Weil. Por supuesto, todos sabemos que la cohomología etale es esa maravillosa herramienta. Por analogía, ¿qué herramientas de "caja negra" son necesarias para el programa de Langlands? En términos generales, ¿qué herramientas necesitamos para el programa de Langlands?

Estudiante de posgrado curioso, Ben

Answer 1

Hay todo tipo de problemas con las conjeturas de Langlands que (hasta donde yo sé) no tenemos ni idea de cómo abordar. Como ejemplo muy simple de un problema para $GL(2)$ en $\mathbf{Q}$ que no podemos hacer, considere esto: debería haber una biyección canónica entre representaciones bidimensionales continuas pares (es decir, det(complex conj)=+1) irreducibles $Gal(\overline{\mathbf{Q}}/\mathbf{Q})\to GL(2,\mathbf{C})$ y las nuevas eigenformas algebraicas normalizadas de Maass en el semiplano superior. Se trata de una especie de análogo no holomórfico del teorema de Deligne-Serre que relaciona las representaciones irreducibles de Galois de impar con las nuevas formas holomórficas de peso 1. Una manera de clavar esta biyección es que dada una nueva forma de Maass, entonces para todos los primos $p$ sin dividir el nivel, el valor propio de $T_p$ (convenientemente normalizada) debe ser la traza de la representación evaluada en el elemento de Frobenius en el grupo de Galois.

Si quieres una caja negra que resuelva todo lo de Langlands entonces necesitas una caja negra que resuelva esto. Desgraciadamente, me parece que, en primer lugar, necesitarás varias ideas nuevas y buenas para resolver incluso este caso sencillo, y en segundo lugar, hay más de una estrategia y no está claro cuál funcionará primero. Como ejemplos de los problemas a los que uno se enfrenta: dada la representación de Galois, eso es sólo un trozo de álgebra una cantidad finita de datos. ¿Cómo va uno a construir un montón de análisis a partir de él? Una forma podría ser a través de la teoría del cambio de base, que funciona de maravilla para las extensiones cíclicas, y se ha desarrollado lo suficiente para resolver el problema de las representaciones de Galois con imagen soluble (se utiliza mucho más que la afirmación de que el grupo es soluble--se utiliza que también es "pequeño"---esto no es sólo una consecuencia formal del cambio de base cíclico). Este es el teorema de Langlands-Tunnell, que da la forma de Maass a partir de la representación de Galois si tiene imagen soluble. En el caso no solucionable se puede soñar con el cambio de base no solucionable, pero el cambio de base no solucionable no es más que un sueño en este momento. Así que hay una gran caja negra pero que sólo resolverá una dirección de un pequeño fragmento de las conjeturas de Langlands.

¿Y qué hay del otro lado? Pues aquí estamos aún más a oscuras. Dada una forma algebraica de Maass, ni siquiera podemos demostrar que sus valores propios de Hecke son números algebraicos, y mucho menos la suma de dos raíces de la unidad. En el caso de la forma modular holomorfa podemos obtener las bases de los espacios de formas utilizando, por ejemplo, la cohomología coherente de la curva modular considerada como una curva algebraica sobre $\mathbf{Q}$ o (en pesos 2 o más) cohomología singular de un sistema local (típicamente no trivial) en la curva. Ambas máquinas producen $\mathbf{Q}$ -con acciones de Hecke, y por lo tanto los polos de char están en $\mathbf{Q}[x]$ y por tanto los valores propios son algebraicos. Pero con las formas algebraicas de Maass no tenemos ese lujo. No son cohomológicas, por lo que no podemos esperar verlas en la cohomología singular de un sistema local, y no son holomorfas, por lo que tampoco podemos esperar verlas en la cohomología coherente. Así que, vagamente hablando, necesitamos una caja negra que, dados ciertos espacios vectoriales complejos de dimensión finita con acciones de Hecke, produzca $\mathbf{Q}$ -espacios vectoriales de la nada, que cuando se tensan hasta los complejos nos devuelven nuestros grupos. La gente ha intentado utilizar el cambio de base para hacer esto, u otros casos conocidos de functorialidad, pero todo hasta ahora ha fallado y no me queda claro que se tenga siquiera una conjetura para hacer esta dirección. Y sólo estoy hablando de demostrar que los valores propios son algebraicos, ¡ni siquiera me acerco a adjuntar la representación de Galois!

Así que una vaga caja negra "cambio de base no abeliana", y un problema difícil del que, por lo que sé, nadie tiene ideas, y, si los juntas, resolverías una pequeñísima parte del programa de Langlands. Hace que las conjeturas de Weil parezcan un paseo por el parque.

Answer 2

Esta respuesta trata del programa clásico de Langlands (si se quiere, el programa de Langlands para campos numéricos).

Este programa tiene (al menos) dos aspectos:

(a) funtorialidad: es la conjetura original de Langlands, explicada en la carta a Weil, y desarrollada en "Problemas en la teoría de las formas automórficas" y en escritos posteriores. Es una conjetura puramente sobre las formas automórficas. Langlands ha esbozado un enfoque para demostrarla en general es sus artículos sobre el tema "Más allá de la endoscopia" (disponible en línea en sus obras recopiladas).

Una prueba de funtorialidad implicaría, entre otras cosas, el cambio de base no solucionable del que habla la respuesta de Kevin.

Parece que para que el programa "más allá de la endoscopia" funcione como lo prevé Langlands, habría que resultados desconocidos (y aparentemente fuera de alcance) en la teoría analítica de números de $L$ -funciones.

(b) reciprocidad: es la relación conjeturada entre las formas automórficas y representaciones/motivos de Galois. Tiene dos pasos: adjuntar representaciones de Galois o incluso motivos, a (ciertas) formas automórficas y, a la inversa, mostrar que todas las representaciones de Galois de los motivos surgen de esta manera. (Esta dirección inversa suele incorpora también la conjetura de Fontaine--Mazur, que postula un criterio puramente galois-teórico para cuando una representación de Galois debe surgir de un motivo).

Si se da la dirección automórfica a Galois, entonces hay algunas técnicas para deducir la dirección inversa, concretamente el método de Taylor--Wiles. Sin embargo este método no es una máquina que se aplique automáticamente siempre que se tenga la dirección automórfica a Galois disponible; en particular, no parece aplicarse de ninguna manera directa a las representaciones/motivos de Galois para los que algunos $h^{p,q}$ es mayor que 1 (en términos más galois-teóricos, que tienen pesos irregulares de Hodge--Tate). Así, en particular, incluso si uno pudiera adjuntar representaciones de Galois a (ciertas) formas de Maass, uno seguiría teniendo el problema de demostrar que toda representación de Artin de $G_{\mathbb Q}$ surgió de esta manera.

En cuanto a la construcción de representaciones de Galois unidas a formas automórficas, aquí el la idea es utilizar las variedades de Shimura, y se puede esperar que, con el lema fundamental ahora demostrado, se podrá obtener una descripción bastante completa de las representaciones de Galois que aparecen en la cohomología de las variedades de Shimura. (Aquí uno podrá aprovechar los recientes avances en la comprensión de los modelos integrales de las variedades de las variedades de Shimura, debido a gente como Harris y Taylor, Mantovan, Shin, Morel y Kisin, en varios contextos diferentes).

El problema general es que no todas las formas automórficas contribuyen a la cohomología (por ejemplo, las formas de Maass, como se discute en la respuesta de Kevin), pero también, no todas las formas automórficas aparecen en cualquier variedad de Shimura de Shimura. Dado que las variedades Shimura son actualmente el único juego en la ciudad para pasar de formas automórficas a representaciones de Galois, la gente está pensando mucho en cómo pasar de cualquier contexto a un contexto de variedad de Shimura, aplicando la functorialidad (por ejemplo, la construcción de Taylor de las representaciones de Galois. adjuntas a ciertas cuspformas en $GL_2$ de un campo imaginario cuadrático), o tratando de desarrollar nuevas ideas como $p$ -functorialidad de los ácidos. Aunque ciertamente hay ideas aquí, y se puede esperar algún progreso, las preguntas parecen ser difíciles, y no hay una caja negra que lo resuelva todo.

En particular, uno podría imaginar tener la functorialidad como una caja negra, y preguntarse si uno puede derivar la reciprocidad. (Piénsese en la forma en que Langlands--Tunnell desempeñó un papel crucial en la demostración de la modularidad de las curvas elípticas). Langlands ha preguntado esto en varias ocasiones. La respuesta no parece ser un sí fácil.

Answer 3

No sé mucho sobre el programa de Langlands, pero si hay una herramienta que parece surgir mucho en la geometría de Langlands, son las gavillas perversas. Se ven muchas variedades algebraicas singulares en Langlands geométrico, y las láminas perversas son una generalización singular de un haz vectorial con una conexión plana. Las láminas ordinarias son ya una generalización singular de los haces vectoriales, pero no la pertinente. Las gavillas perversas (que están hechas de gavillas pero no son gavillas en sí mismas) son una generalización más apropiada que incorpora y es una especie de (co)homología de intersección.

También puedo decir que no iba a aprender sobre gavillas perversas hasta que tuviera que hacerlo. Sin embargo, ahora he visto varios trabajos importantes, en el programa de categorización relacionado, que se leen de esta manera: "Tejidos perversos + restricciones necesarias = una buena solución". Así que ahora puede que me esté acostumbrando poco a poco a ellos. También puedo ver que incluso el formalismo de las poleas perversas o la homología de intersección es algo inevitable. En algunas de las construcciones más sencillas, las variedades (sobre $\mathbb{C}$ digamos) son no singulares y ciertas respuestas surgen como productos de cohomología ordinaria o productos de intersección. Por ejemplo, el cálculo de Schubert en una variedad grassmanniana. ¿Qué opción tiene si se sustituye el Grassmanniano por una variedad singular $X$ ? Para algunas de estas preguntas de categorización/Langlands, se pueden proponer respuestas erróneas, o respuestas ad hoc, o se puede obtener automáticamente la respuesta correcta utilizando la homología de intersección en $X$ . (Con perversidad media, como se dice.)