Consecuencias de una biyección de clase $V\times V\to V$

Question

Un famoso teorema de Tarski (demostrado en ZF) dice que, si $\mathfrak{m}^2=\mathfrak{m}$ para cada cardinal infinito $\mathfrak{m}$ entonces se cumple el axioma de elección.

Considere el lenguaje $\{\in,F\}$ , donde $F$ es un símbolo de función binaria, y sea $T$ sea la teoría ZF+" $F$ es una biyección". Informalmente, $V\times V\approx V$ (donde $X\approx Y$ significa que existe una biyección $X\to Y$ ).

Con argumentos estándar, $L$ es un modelo de $T$ Así que $T$ es consistente.

Mis preguntas son:

• Hace $T\vdash$ ¿AC?
• Hace $V\times V\approx V$ reflejar a cualquier segmento inicial del universo? ¿O a cualquier cardinal?
• Hace $T\vdash$ ¿Elección global? (hay un problema aquí con respecto a la forma de enunciar la elección global en un primer orden, pero aún así)

Answer 1

ZF puede demostrar que dicha biyección existe (es decir, hay una función de clase específica que puede demostrar que es una biyección). Hay inyecciones obvias $V\times V\to V$ (la inclusión) y $V\to V\times V$ ( $a\mapsto(a,\emptyset)$ , digamos). Schroder-Bernstein puede entonces combinar estas dos inyecciones para obtener una biyección (se necesita un poco de cuidado para llevar a cabo la demostración de Schroder-Bernstein para las clases; véase esta respuesta para una forma de hacerlo).

Ya que has preguntado por los segmentos iniciales del universo, añadiré que el mismo argumento da que hay una biyección entre $V_\alpha\times V_\alpha$ y $V_\alpha$ para todos los ordinales límite $\alpha$ (y que de hecho existe tal biyección que es uniformemente definible en $\alpha$ ). Se deduce que dicha biyección también existe cuando $\alpha$ es un sucesor infinito, ya que si $X$ es infinito entonces $X\times X\approx X$ implica $X\times 2\approx X$ por Schroder-Bernstein y así $2^X\times 2^X\approx 2^{X\times 2}\approx 2^X$ .