Distribución de U+V si (U,V) es i.i.d. exponencial

Question

Tengo las siguientes exponenciales independientes:

$f_U = f_V = e^{-x}, x>o$

Y quiero determinar Z=U+V. Parece que la jacobiana funcionaría bien (defino la transformación auxiliar W=U) pero mi distribución conjunta acaba siendo una exponencial en Z solamente ( $f_z = e^{-z})$ Lo que parece extraño. La transformación parece uno a uno...

¿Alguna pista (antes de una respuesta completa)?

EDIT: Mi enfoque:

Definir $Z=U+V$ y $W=U$ . Estas son mis transformaciones. Ahora las inversas:

$$ U(z,w) = w ~ V(z,w) = z - w $$

Lo que da jacobiano 1. Por lo tanto: $f_{Z,W} = f_{U,V}(U(z,w),V(z,w)) = e^{-z}$

Ahora para encontrar la Z marginal, tendría que integrar desde $0$ a $w$ ? Los enfoques alternativos también son bienvenidos.

Gracias.

Answer 1

En resumen, $f_U(u)=\mathrm e^{-u}\mathbf 1_{u\gt0}$ , $f_V(v)=\mathrm e^{-v}\mathbf 1_{v\gt0}$ y $(U,V)$ es independiente, por lo que la densidad $f_{(U,V)}$ de $(U,V)$ es tal que $f_{(U,V)}(u,v)=\mathrm e^{-u-v}\mathbf 1_{u\gt0,v\gt0}$ . Ahora el jacobiano de la transformación $(u,v)\mapsto(w,z)=(u,u+v)$ es $1$ y la inversa de esta transformación es $(w,z)\mapsto(u,v)=(w,z-w)$ por lo que $(W,Z)=(U,U+V)$ tiene densidad $$ f_{(W,Z)}(w,z)=f_{(U,V)}(w,z-w)=\mathrm e^{-w-(z-w)}\mathbf 1_{w\gt0,z-w\gt0}=\mathrm e^{-z}\mathbf 1_{z\gt w\gt0}.$$ Por último, la densidad $f_Z$ de $Z$ es el marginal de $f_{(W,Z)}$ Es decir, $$ f_Z(z)=\int_\mathbb Rf_{(W,Z)}(w,z)\mathrm dw=\mathbf 1_{z\gt0}\int_0^z\mathrm e^{-z}\mathrm dw=z\mathrm e^{-z}\mathbf 1_{z\gt0}. $$ Como siempre (y como ya se ha explicado varias veces en el sitio), para escribir completamente las densidades, es decir, incluyendo las funciones de los indicadores correspondientes hace que estos cálculos sean mecánicos y, por tanto, triviales.

Answer 2

Dado que las respuestas alternativas se aceptan también......

$U$ y $V$ son variables aleatorias exponenciales IID con media 1. La función generadora de momentos para la variable aleatoria exponencial es $$M_U(t)=M_V(t)=\frac{1}{1-t}$$ Ahora bien, si $Z=U+V$ , ya que son IID, por las propiedades de los MGF, $$M_Z(t)=M_{U+V}(t)=M_U(t)M_V(t)=\left(\frac{1}{1-t}\right)\left(\frac{1}{1-t}\right)=\left(\frac{1}{1-t}\right)^2$$ Esta es precisamente la Función Generadora de Momentos para la Distribución Gamma $$f(x)=\frac{x^{k-1}e^{\frac{-x}{\theta}}}{\theta^k\Gamma{(k)}}, x\gt0$$ con parámetros $\theta=1$ y $k=2$ . Así, $$f(z)=\frac{z^{2-1}e^{\frac{-z}{1}}}{1^2\Gamma{(2)}}=\frac{ze^{-z}}{(2-1)!}=ze^{-z},z\gt0$$