Hay que tener cuidado con el tipo de $\mathrm{Pic}$ ¡de la que hablas!
La cuestión es que si $X/\mathbb{R}$ es un tipo finito $\mathbb{C}$ -sistema entonces $X(\mathbb{R})$ (resp. $X(\mathbb{C})$ ) es una colmena real (o compleja) (la primera es sólo "localmente una colmena", dependiendo del tipo de axiomas de naturaleza topológica de conjunto de puntos que se imponga). Esto permite definir mapas
$$\mathrm{Pic}_\mathrm{alg}(X)\to \mathrm{Pic}_\mathrm{smooth}(X(\mathbb{R}))\to\mathrm{Pic}_{\mathrm{cont.}}(X(\mathbb{R}))\qquad (1)$$
y mapas
$$\mathrm{Pic}_\mathrm{alg}(X_\mathbb{C})\to \mathrm{Pic}_{\mathrm{hol.}}(X(\mathbb{C}))\to\mathrm{Pic}_{\mathrm{cont.}}(X(\mathbb{C}))\qquad (2)$$
Pero, en general, estos mapas no tienen por qué ser todos isomorfismos.
Por ejemplo, si $M$ es una variedad real lisa, entonces existe un isomorfismo
$$\mathrm{Pic}_\mathrm{smooth}(M)\xrightarrow{\approx}\mathrm{Pic}_{\mathrm{cont.}}(M)\cong H^1_\mathrm{sing}(M,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$
Este último isomorfismo proviene del hecho de que el espacio clasificador de los haces de líneas reales continuas es $\mathbb{RP}^\infty$ que es un $K(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},1)$ . El primer isomorfismo puede pensarse de dos maneras:
- El hecho de que tengamos una aproximación suave para los mapas $M\to \mathbb{RP}^\infty$
- El hecho de que los haces de líneas reales lisas deban ser clasificados por $\mathcal{O}_M^\times$ . Entonces hay un SES $$0\to \mathcal{O}_M\to \mathcal{O}_M^\times\to \underline{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}\to 0$$ de gavillas y el hecho de que $H^1(M,\mathcal{O}_M)=H^2(M,\mathcal{O}_M)=0$ porque las gavillas $\mathcal{O}_M$ son los llamados "finos" (y por lo tanto son acíclicos).
A partir de esto vemos que podemos refinar $(1)$ a
$$\mathrm{Pic}_\mathrm{alg}(X)\to \mathrm{Pic}_\mathrm{smooth}(X(\mathbb{R}))\xrightarrow{\approx}\mathrm{Pic}_{\mathrm{cont.}}(X(\mathbb{R}))$$
pero este primer mapa no tiene por qué ser un isomorfismo. Como has señalado, si $X=\mathbb{P}^1_\mathbb{R}$ entonces este mapa fomer es
$$\mathrm{Pic}_\mathrm{alg.}(\mathbb{P}^1_\mathbb{R})\cong \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}= \mathrm{Pic}_{\mathrm{smooth}}(\mathbb{RP}^1)$$
donde explícitamente el mapa toma $\mathcal{O}(n)$ al haz trivial si $n$ es par y el haz de Mobius si $n$ ¡es impar! El punto es que mientras las estructuras algebraicas en $\mathcal{O}$ y $\mathcal{O}(2n)$ (así como $\mathcal{O}(1)$ y $\mathcal{O}(2n+1)$ ) no son equivalentes algebraicamente, lo son suavemente. Pruébelo usted mismo con los mapas de superposición $x$ y $x^3$ ¡!
En el $\mathbb{C}$ -caso si se asume que $X$ es, además, propio entonces se obtiene realmente un isomorfismo
$$\mathrm{Pic}_{\mathrm{alg.}}(X)\xrightarrow{\approx}\mathrm{Pic}_{\mathrm{hol.}}(X(\mathbb{C}))$$
esto se desprende de los resultados del GAGA de Serre. Además, podemos describir el mapa $\mathrm{Pic}_{\mathrm{hol.}}(X(\mathbb{C}))\to \mathrm{Pic}_{\mathrm{cont.}}(X(\mathbb{C}))$ bastante bien. En concreto, los haces de líneas continuas complejas en $X(\mathbb{C})$ puede describirse como $H^2_\mathrm{sing}(X,\mathbb{C})$ . De nuevo, la razón es que el espacio clasificatorio de los haces de líneas complejas es $\mathbb{CP}^\infty$ que es un $K(\mathbb{Z},2)$ . Los haces de líneas holomorfas en $X(\mathbb{C})$ se clasifican por $H^1(X(\mathbb{C}),\mathcal{O}_{X(\mathbb{C})}^\times)$ . La conexión entre ambos viene dada por la secuencia exponencial
$$0\to \underline{\mathbb{Z}}\to \mathcal{O}_{X(\mathbb{C})}\to\mathcal{O}_{X(\mathbb{C})}^\times\to 0$$
donde el segundo mapa es $f\mapsto \exp(2\pi i f)$ . Tomando la secuencia exacta larga en cohomología obtenemos (parte de la ) secuencia exacta larga exponencial
$$H^1_\mathrm{sing}(X,\mathbb{Z})\to H^1(X(\mathbb{C}),\mathcal{O}_{X(\mathbb{C})})\to H^1(X(\mathbb{C}),\mathcal{O}_X^\times)\to H^2_\mathrm{sing}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z})\to H^2(X(\mathbb{C}),\mathcal{O}_{X(\mathbb{C})})$$
Y, de hecho, el diagrama natural
$$\begin{matrix}\mathrm{Pic}_{\mathrm{hol.}}(X(\mathbb{C})) & \to & \mathrm{Pic}_{\mathrm{cont.}}(X(\mathbb{C})\\ \downarrow & & \downarrow\\ H^1(X(\mathbb{C}),\mathcal{O}_{X(\mathbb{C})}^\times) & \to & H^2_\mathrm{sing}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z})\end{matrix}$$
conmuta con los mapas verticales siendo isomorfismos. Este mapa se llama Clase Chern de un haz de líneas algebraico/holomorfo.
Por lo tanto, si $X$ es una curva suave proyectiva (geométricamente) conectada de género $g$ vemos que el mapa
$$\mathrm{Pic}_{\mathrm{alg.}}(X(\mathbb{C}))\to \mathrm{Pic}_{\mathrm{cont.}}(X(\mathbb{C}))$$
es suryente con el núcleo un cociente de un espacio vectorial de dimensión $g$ . Por lo tanto, si $X=\mathbb{P}^1_\mathbb{R}$ el núcleo es trivial y obtenemos el isomorfismo deseado
$$\mathrm{Pic}_{\mathrm{alg.}}(\mathbb{P}^1_\mathbb{C})\cong \mathrm{Pic}_{\mathrm{cont.}}(X(\mathbb{C}))\cong H^2(\mathbb{CP}^1,\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$$
De hecho, lo que es generalmente cierto es que si $X/\mathbb{R}$ es una curva suave proyectiva (geométricamente) conectada, entonces la (porción de )la larga secuencia exponencial exacta puede escribirse
$$\begin{matrix}H^1_\mathrm{sing}(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}) & \to & H^1(X(\mathbb{C}),\mathcal{O}_{X(\mathbb{C})}) & \to & \mathrm{Pic}(X_\mathbb{C}) & \to & H^2(X(\mathbb{C}),\mathbb{Z}) & \to & H^2(X(\mathbb{C}),\mathcal{O}_{X(\mathbb{C})})\\ \downarrow & & \downarrow & & & &\downarrow & & \downarrow\\ \mathbb{Z}^{2g} & &\mathbb{C}^g & & & & \mathbb{Z} & & 0\end{matrix}$$
Y, si se toma por fe (¡este es el principio de la teoría de Hodge!) que $\mathbb{Z}^{2g}$ está incrustado en $\mathbb{C}^g$ como un entramado, entonces vemos que obtenemos una secuencia exacta corta
$$0\to \mathbb{C}^g/\mathbb{Z}^{2g}\to \mathrm{Pic}(X_\mathbb{C})\to \mathbb{Z}\to 0$$
para que $\mathrm{Pic}(X_\mathbb{C})$ parece un grupo de Lie complejo desconectado con grupo de componentes $\mathbb{Z}$ y la componente de identidad una variedad abeliana (es decir, un grupo de Lie complejo compacto). Esta componente de identidad se llama Jacobiano de $X_\mathbb{C}$ y se denota $\mathrm{Jac}(X_\mathbb{C})$ . El mapa de $$\mathrm{Pic}(X_\mathbb{C})\to \mathbb{Z}=\pi_0(\mathrm{Pic}(X_\mathbb{C}))$$ es sólo el mapa de grados. Por supuesto, ya que $\mathbb{Z}$ es proyectiva y discreta esta secuencia se divide no canónicamente para dar que $\mathrm{Pic}(X_\mathbb{C})\cong \mathrm{Jac}(X_\mathbb{C})\times\mathbb{Z}$ .
Por ejemplo, si toma $X=E$ una curva elíptica, entonces resulta que $\mathrm{Jac}(E_\mathbb{C})\cong E_\mathbb{C}$ ¡!
¡Con todo esto se inicia el fascinante viaje hacia el esquema de la variedad Albanese/Picard de un esquema adecuado sin problemas!
Lo último que diré es que, en cierto sentido, los haces algebraicos sobre $X/\mathbb{R}$ lisos proyectivos están mucho más relacionados con los haces holomorfos sobre $X(\mathbb{C})$ que los haces continuos en $X(\mathbb{R})$ ¡! De hecho, existe la llamada "secuencia de Picard-Brauer" que contiene los términos
$$0\to \mathrm{Pic}(X)\to \mathrm{Pic}(X_\mathbb{C})^{\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})}\to \mathrm{Br}(\mathbb{R})(\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$
De ello se desprende que los haces algebraicos sobre $X$ se incrustan en los haces algebraicos en $X_\mathbb{C}$ (que es igual a los haces holomorfos en $X(\mathbb{C})$ ) y que hasta un $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ -término coinciden exactamente con los invariantes de Galois de los haces algebraicos en $X_\mathbb{C}$ .
En el caso de $X=\mathbb{P}^1_\mathbb{R}$ esta secuencia no es muy interesante. Parece que
$$0\to \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$
donde el mapa $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ es un isomorfismo y el mapa $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es trivial.
Pero, si en lugar de $\mathbb{P}^1_\mathbb{R}$ que tomaste el único giro no trivial $X:=V(x^2+y^2+z^2)\subseteq\mathbb{P}^2_\mathbb{R}$ entonces su secuencia se ve realmente como
$$0\to 2\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to 0$$
El punto es que si usted toma cualquier grado $2$ -punto final $X$ entonces $\mathrm{Pic}(X)\cong \{\mathcal{O}(np):n\in\mathbb{Z}\}$ . Pero, como $p$ es un punto de grado $2$ cuando el cambio de base a $\mathbb{C}$ se consigue que $p$ se divide en dos puntos $q_0$ y su conjugado de Galois $\sigma(q_0)$ para que $\mathcal{O}(p)$ mapas a $\mathcal{O}(q_0)\otimes \mathcal{O}(\sigma(q_0))\cong \mathcal{O}(2)$ .
