¿Por qué hay dos versiones de una ecuación polar para un círculo de forma geométrica

Question

En la clase de hoy hemos aprendido que una rectangular/geométrica de la ecuación de un círculo como $x^2+(y-5)^2 = 9$ se puede convertir en una ecuación polar por la reducción de la ecuación cuadrática $r^2-10r\sin \theta+16=0$ aplicando la fórmula cuadrática para esta ecuación se obtiene dos ecuaciones $$ r=5\sin\theta + \sqrt {25\sin^2\theta-16} $$ y $$ r=5\sin\theta \sqrt {25\sin^2\theta-16} $$ Sin embargo, cuando estas ecuaciones son graficados en polar modo en una calculadora que son exactamente el mismo círculo. ¿Cómo es esto posible?

Answer 1

Las coordenadas polares son a la vez una bendición y una maldición. Una bendición, porque hacen que sea más fácil para describir muchos de los objetos geométricos. Una maldición, porque ellos no son los únicos: el mismo punto puede ser representado de diferentes maneras.

En particular, las coordenadas $(r,\theta)$ $(-r,\theta+\pi)$ se refieren al mismo punto. Esto debe quedar claro a partir de un dibujo.

¿Qué tiene esto que ver con tu pregunta? Si sustituye $\theta+\pi$ en su segunda ecuación, se obtiene $$r_2=-5\sin\theta-\sqrt{25\sin^2\theta-16}=-\left(5\sin\theta+\sqrt{25\sin^2\theta-16}\right)=-r_1$$ because $\el pecado(\theta+\pi)=-\sin\theta$.

Answer 2

Creo que es una buena observación, y me gustaría explicarlo de esta manera:

Usted está mirando a la curva que es el círculo mostrado en la imagen de abajo.

Primero de todo, si usted dibuja una línea recta desde el origen, que no es tan extraño que de forma genérica se cruza el círculo, ya sea en ningún punto o de dos puntos (con la excepción de cuando la línea es tangente).

Hacer un diagrama polar de este círculo, un pequeño cálculo muestra que los ángulos determinados por los círculos son $$\pi/2-\arctan(3/4)\leq\theta\leq\pi/2+\arctan(3/4)\quad\text{(modulus $2\pi$)} $$ (esta es también la condición para tener no negativo de la expresión en el interior de sus raíces cuadradas). Por lo tanto, utilizamos su cálculo correcto, y la trama $$ r_1=5\sin\theta+\sqrt{25\sin^2\theta-16}\quad \text{(naranja)} $$ y $$ r_2=5\sin\theta\sqrt{25\sin^2\theta-16}\quad \text{(verde)} $$ en el dominio mencionado anteriormente. La animación, que se parece a esto:

Actualización

Si esto no responde a por qué se obtiene el círculo completo, mirando a sólo una de las $r_1$ o $r_2$, que es contestado por lo que ocurre en las otras válido $\theta$-rango (mirando lo que está dentro de la raíz cuadrada), $$ 3\pi/2-\arctan(3/4)\leq\theta\leq3\pi/2+\arctan(3/4). $$ La misma animación en este dominio es

Si usted considera que tanto estas animaciones se puede ver que tanto la parte verde y la parte naranja ha llenado el círculo completo.

Esto no es tan extraño, si consideramos que la $x=r\cos\theta$ $y=r\sin\theta$ y el hecho de que $\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$$\sin(\theta+\pi)=-\sin(\theta)$.

Answer 3

Si usted sustituto

$$\theta\leftrightarrow-\theta,\\r\leftrightarrow-r$$ de una ecuación se convierte en el otro.

Y como

$$r\cos(\theta)=-(-r)\cos(-\theta),\\r\sin(\theta)=(-r)\sin(-\theta),$$

esta sustitución equivale a una reflexión alrededor del eje vertical ($x\leftrightarrow-x$), que no puede ver.