Tengo una pregunta, que está relacionada con el siguiente tema .
Asumiendo lo siguiente circuito la probabilidad de que todo el sistema funcione viene dada por: $$P[X]\cup P[Y] = P[X] + P[Y] - P[X\cap Y],$$
dado que P[X] está definido por la rama AB y P[Y] por CDE. Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que A no funcione dado que el sistema funciona?
Yo lo escribiría como
$$P[A'|Z] = \frac{P[A'\cap Z]}{P[Z]},$$ donde $P[Z]=P[X]\cup P[Y].$ Intuitivamente, se podría considerar $P[A']\cap P[Z] = P[A']P[Z]$ . Sin embargo, esto sólo es válido cuando $A'$ y $Z$ son independientes. Como el sistema funciona independientemente de la rama $AB$ cuando $C$ , $D$ y $E$ están trabajando, se podría utilizar $P[A'\cap (C\cap D \cap E)] = P[A']P[C]P[D]P[E]$ . Finalmente, llego a mi pregunta. ¿Por qué hay que seguir utilizando $P[Z]$ en el denominador, es decir $$P[A'|Z] = \frac{P[A'\cap (C\cap D \cap E)]}{P[Z]}\quad (1)$$ en lugar de $$P[A'|C\cap D \cap E] = \frac{P[A'\cap (C\cap D \cap E)]}{P[C\cap D \cap E]}\quad (2)?$$
Hay que utilizar la ecuación (1) para llegar a la misma respuesta que se da en el libro. Sin embargo, me molesta que la ecuación de la probabilidad condicional requiera una "adaptación".
