¿La homotopía suave entre difeomorfismos tiene que ser a través de difeomorfismos para inducir la misma clase de equivalencia de cobordismos?

Question

Actualmente estoy leyendo las notas de Kock sobre los TQFTs, que se encuentran aquí http://mat.uab.es/~kock/TQFT/FS.pdf y asumo que todas sus definiciones son estándar.

Supongamos que tenemos dos difeomorfos, cerrados, compactos y lisos $(n-1)$ -manifolds $\Sigma_0$ y $\Sigma_1$ con $\psi_1, \psi_2: \Sigma_0 \to \Sigma_1$ siendo difeomorfismos. Estos difeomorfismos inducen cobordismos de $\Sigma_0$ a $\Sigma_1$ a través de la construcción del cilindro. (1.1.4 en las notas)

Si $\psi_1$ y $\psi_2$ son suavemente homotópicos, entonces tenemos un mapa suave $F: \Sigma_0 \times I \to \Sigma_1$ , donde $F(x,0) = \psi_1(x)$ y $F(x,1) = \psi_2(x)$ para todos $x \in \Sigma_0$ . Hay un mapa obvio $\Sigma_0 \times I \to \Sigma_1 \times I$ dado por $(x,t) \mapsto (F(x,t),t)$ . Las notas afirman que se trata de una equivalencia de cobordismos de $\Sigma_0$ a $\Sigma_1$ tras las oportunas identificaciones de la frontera para convertirlos en verdaderos cobordismos de $\Sigma_0$ a $\Sigma_1$ .

Sin embargo, no creo que $(x,t) \mapsto (F(x,t),t)$ es un difeomorfismo, a menos que $F_t$ es un difeomorfismo para todo $t$ , lo cual no he asumido. ¿Debo asumirlo?

Edición: La homotopía no tiene por qué ser a través de difeomorfismos (isotopía) pero el mapa de homotopía no está garantizado a priori que sea un difeomorfismo.

Answer 1

La respuesta aquí https://mathoverflow.net/questions/155380/mapping-class-group-vs-automorphism-group-in-cobordism-category (en realidad sólo la primera estrofa) implica que para cualesquiera dos automorfismos no homotópicos de una superficie la construcción cilíndrica da cobordismos distintos. La afirmación de 1.1.5 de que todos los automorfismos inducen cobordismos equivalentes me parece sumamente errónea (EDIT: supongo que estoy asumiendo aquí que el cilindro preciso es un lado la inclusión $\Sigma_0$ y por otro lado el difeomorfismo. Si el autor se refiere al mapa en el que ambos lados son el difeomorfismo, entonces estos deberían ser equivalentes por una razón bastante trivial. A saber, su difeomorfismo es $\phi \circ \psi ^{-1}$ donde $\phi$ y $\psi$ son sus difeos y no tocan el $\times I$ bit).

En general, dos automorfismos inducen cobordismos equivalentes si son "pseudoisotópicos". Este artículo de Browder http://www.ams.org/journals/tran/1967-128-01/S0002-9947-1967-0212816-0/S0002-9947-1967-0212816-0.pdf da un ejemplo de un mapa que es homotópico a la identidad, pero no pseudo-isotópico a la identidad que da un contraejemplo preciso a lo que estás tratando de hacer.

Sin ninguna implicación negativa hacia las notas que usted está utilizando, las notas de Freed disponibles aquí http://www.ma.utexas.edu/users/dafr/M392C-2012/ son excelentes.