Esta es una pregunta, o más bien una nube de preguntas, que quería hacer hace un tiempo basándome en este post de SBS y este post que escribí inspirado en él, excepto que Math Overflow no existía entonces.
Como se describe en el post de SBS, los números catalanes se pueden obtener como los momentos de la traza de un elemento aleatorio de $SU(2)$ con respecto a la medida de Haar. Esto equivale a la identidad integral $$\int_{0}^{1} (2 \cos \pi x)^{2k} (2 \sin^2 \pi x) \, dx = C_k.$$
Puedo demostrar esta identidad "combinatorialmente" de la siguiente manera: sea $A_n$ denotan el diagrama de Dynkin con $n$ vértices y $n-1$ aristas no dirigidas que conectan esos vértices en secuencia. La matriz de adyacencia de $A_n$ tiene vectores propios $\mathbf{v}\_i$ con entradas $\mathbf{v}\_{i,j} = \sin \frac{\pi ij}{n+1}$ con los correspondientes valores propios $2 \cos \frac{\pi i}{n+1}$ . Si $k \le n-1$ entonces un cálculo sencillo muestra que el número de paseos cerrados desde un extremo de $A_n$ a sí mismo de longitud $2k$ es $$\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n} \left( 2 \cos \frac{\pi i}{n+1} \right)^{2k} 2 \sin^2 \frac{\pi}{n+1} = C_k$$
por la definición combinatoria de los números catalanes. Tomando el límite como $n \to \infty$ da la identidad integral; en otras palabras, la identidad integral es en cierto sentido equivalente a la definición combinatoria de los números catalanes en términos de paseos cerrados en el "grafo de caminos infinitos" $A_{\infty}$ . (¿Es ésta la notación correcta? Me refiero al grafo de camino infinito con un extremo).
Ahora, los paseos cerrados de longitud $2k$ desde un extremo de $A_n$ a sí mismo puede ponerse en biyección con árboles con raíces ordenadas de profundidad como máximo $n$ y $k$ vértices no radicales. (Recordemos que los números catalanes también cuentan árboles enraizados ordenados de profundidad arbitraria). La función generadora $P_n$ de árboles enraizados ordenados de profundidad máxima $n$ satisface la recursión $$P_1(x) = 1, P_n(x) = \frac{1}{1 - x P_{n-1}(x)}.$$
Esto se debe a que un árbol rooteado ordenado de profundidad $n$ es lo mismo que una secuencia de árboles enraizados ordenados de profundidad $n-1$ junto con una nueva raíz. (Recordemos que la función generadora de los números catalanes satisface $C(x) = \frac{1}{1 - x C(x)}$ . En otras palabras, $C(x)$ tiene una representación de fracción continua, y $P_n$ es su secuencia de convergentes). Por otra parte, dado que $P_n(x)$ cuenta paseos en el gráfico $A_n$ es posible escribir la función generadora $P_n$ explícitamente en términos de los polinomios característicos de las correspondientes matrices de adyacencia, y estos polinomios tienen como raíces los valores propios $2 \cos \frac{\pi i}{n+1}$ . Esto implica que deben ser los Polinomios de Chebyshev del segundo tipo, es decir, las que satisfacen $$q_n(2 \cos x) = \frac{\sin (n+1) x}{\sin x}.$$
Pero los polinomios de Chebyshev del segundo tipo no son otros que los caracteres de las representaciones irreducibles de dimensión finita de $SU(2)$ ¡! En particular, son ortogonales con respecto a la medida de Haar.
La pregunta general que tengo es: ¿Cómo se generaliza esta secuencia de cálculos y qué marco conceptual la une? Pero probablemente debería hacer subpreguntas más específicas.
Pregunta 1: Recuerdo haber oído que la relación entre los números catalanes y los polinomios de Chebyshev se generaliza a alguna relación entre momentos, fracciones continuas y polinomios ortogonales respecto a alguna medida. ¿Dónde puedo encontrar una buena referencia para esto?
Pregunta 2: Creo que añadiendo una arista más y considerando la familia de grafos de ciclos se obtiene la secuencia ${2k \choose k}$ y los polinomios de Chebyshev del primero tipo, ambos relacionados con $SO(2)$ . Según el post de SBS, se trata de un fenómeno "tipo B", mientras que los números catalanes son "tipo A". ¿Qué significa esto exactamente? ¿Qué pasaría si repitiera los cálculos anteriores para otros diagramas de Dynkin? ¿Obtendría fracciones continuas para las otras familias infinitas?
Pregunta 3: En relación con lo anterior, ¿en qué sentido es natural relacionar los paseos sobre el diagrama de Dynkin $A_n$ a las representaciones de $SU(2)$ ? Esto parece tener algo que ver con pregunta #16026 . ¿Cómo encajan los vectores propios de las matrices de adyacencia? Quiero pensar en los vectores propios como "armónicos discretos"; ¿tiene sentido este punto de vista? ¿Se puede generalizar?
Como puedes ver, estoy muy confundido, así que agradecería mucho cualquier aclaración.
