Representación de IF ... ENTONCES ... ELSE ... en notación matemática

Question

¿Cómo puedo representar correctamente el siguiente pseudocódigo en notación matemática?

EDIT1: Fórmula ampliada. EDIT2: Aclaración.

(a,b) representa un segmento de línea en una línea 1D. a <= b para cada segmento. La división que se muestra a continuación se realiza según el siguiente código T-SQL (que supongo que podría representarse como una función en la fórmula):

Entrada: @a1 real, @b1 real, @an real, @bn real

DECLARE @Result real

if @a1 <= @an begin
    SET @Result = @an - @b1

    if @Result <= 0 RETURN 0

    RETURN @Result / @an
end

SET @Result = @a1 - @bn

if @Result <= 0 RETURN 0

RETURN @Result / @a1

Fórmula:

if m = 1 then
  if (a,b)_1 intersects (a,b)_n then
    r = 1
  else if (a,b)_1 < (a,b)_n then
    r = (a,b)_1 / (a,b)_n
  else
    r = (a,b)_n / (a,b)_1
else if m = 2 then
  if (a,b)_1 intersects (a,b)_n then
    r = 1
  else if (a,b)_1 < (a,b)_n then
    r = (a,b)_1 / (a,b)_n
  else
    r = (a,b)_n / (a,b)_1

El bloque m = 2 se muestra igual que el m = 1 para simplificar.

Las divisiones son contra los dos puntos que están cerca uno del otro, a menos que los segmentos se crucen, en cuyo caso r = 1.

Answer 1

En general, si tiene "Si $\varphi$ entonces $\psi$ Si no es así $\tau$ "se puede escribir como la siguiente fórmula (o frase, según $\varphi,\psi,\tau$ ):

$\left(\varphi\rightarrow\psi\right)\wedge\left(\neg\varphi\rightarrow\tau\right)$

Si tiene varios casos, puede anidarlos (por ejemplo $\tau$ sería "si la segunda condición entonces, si no...") o si se pueden expresar como $\varphi_1$ lo que significa que sólo el primer caso se mantiene, y ninguno de los otros como $(\varphi_1\rightarrow\psi_1)\wedge(\varphi_2\rightarrow\psi_2)\wedge\ldots$

Adenda:

$(a=b\rightarrow x=1)\wedge(a<b\rightarrow x=\frac{a}{b})\wedge(a>b\rightarrow x=\frac{b}{a})$

He añadido $x$ como variable, ya que al escribir sólo $\rightarrow 1$ me parece muy poco significativo, por supuesto se puede sustituir $x$ por lo que quieras. La idea, esencialmente es que expreses "SI ... ENTONCES ... ELSE" utilizando el $\rightarrow$ (o $\implies$ a veces) y te di en mi post original el método para hacerlo.

Answer 2

También podrías convertirlo en una fórmula matemática.

Por ejemplo, digamos que tenemos lo siguiente:

if (a < b) then c = 100 
else if (a > b) then c = 200
else c = 300.

Esto se puede reescribir como

$$c = 300 \ (1 - \text{sgn}^2(a-b)) + \text{sgn}^2(a-b)(50 \ \text{sgn}(a-b) + 150)$$

Donde $\text{sgn}(x)$ es el signo de $x$ como se define aquí; http://en.wikipedia.org/wiki/Sign_function .

(Se define como: 1 para lo positivo, 0 para lo nulo y -1 para lo negativo)

Answer 3

Esta fue una edición rechazada en la respuesta aceptada, así que la estoy publicando como una nueva respuesta en su lugar. Sólo quería señalar que "Si $\varphi$ entonces $\psi$ , si no $\tau$ "es equivalente a $(\varphi\wedge\psi)\vee(\neg\varphi\wedge\tau)$ . Desde $P \to Q$ equivale a $\neg P \vee Q$ podemos ampliar $(\varphi\rightarrow\psi)\wedge(\neg\varphi\rightarrow\tau)$ de la siguiente manera:

$\begin{align*} (\varphi\rightarrow\psi)\wedge(\neg\varphi\rightarrow\tau) &\iff (\neg\varphi\vee\psi)\wedge(\varphi\vee\tau) \\ &\iff \left((\neg\varphi\vee\psi)\wedge\varphi\right)\vee\left((\neg\varphi\vee\psi)\wedge\tau\right) \\ &\iff (\varphi\wedge\psi)\vee(\neg\varphi\wedge\tau)\vee(\psi\wedge\tau) \end{align*}$

El último término, $(\psi\wedge\tau)$ es redundante. Esto se puede corroborar con una tabla de verdad, pero debería ser intuitivo ya que los dos primeros términos cubren todos los casos debido a la presencia de $\varphi$ y $\neg\varphi$ . Así, el concepto de "Si $\varphi$ entonces $\psi$ , si no $\tau$ "es matemáticamente equivalente a la fórmula lógica sentencial $(\varphi\wedge\psi)\vee(\neg\varphi\wedge\tau)$ .

Answer 4

O simplemente $\begin{cases} a & b \\ c & d \end{cases}$

Answer 5

Cómo implementar estructuras If-then-else en la lógica proposicional:

Ejemplo 1

Si P entonces
  Q
si no
  R
fin si

(P -> Q) & (~P -> R)

Ejemplo 2

Si P entonces
  Q
si no, si R entonces
  S
si no
  T
fin si

(P -> Q) & (~P & R -> S) & (~P & ~R -> T)