Dejemos que $A_i = (-\infty, y + i^{-1}]$ para todos $y \in \mathbb{R}$ . Mostrar $\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i = (-\infty, y]$ .

Question

Dejemos que $A_i = (-\infty, y + i^{-1}]$ para todos $y \in \mathbb{R}$ . Mostrar $\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i = (-\infty, y]$ .

No estoy satisfecho con la solución que me han dado. Estoy de acuerdo en que es bastante obvio que $(-\infty, y] \subset A_i$ para todos $i$ Por lo tanto, también se aplica a la intersección, así que estamos bien allí. Pero la otra dirección se demuestra como la siguiente:

$$\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i = \{x \in \mathbb{R}: x \leq y + \dfrac{1}{n} \text{ for all } n \geq 1 \} \subset \{x \in \mathbb{R}: x \leq y \text{ for all } n \geq 1 \} = (-\infty, y]\text{.}$$ No estoy de acuerdo con esta solución, ya que es posible que un elemento $x \in \left[y, y + \dfrac{1}{n}\right]$ (y por lo tanto el subconjunto falla).

Answer 1

Toda la prueba consiste en demostrar esa inclusión, así que estoy de acuerdo en que la "prueba" que has presentado aquí es bastante insatisfactoria, por no decir poco clara.

Espero que el siguiente argumento le resulte más convincente.

Supongamos por contradicción que $\bigcap A_i$ no está contenida en $(-\infty, y]$ entonces existe $z \in (y,\infty) \cap \bigcap A_i$ . Por definición, esto implica que $z > y$ y $z \in A_i$ por cada $i$ . Para obtener una contradicción observe que si $p = z - y$ puis $z \notin A_i$ para cualquier $i$ tal que $i^{-1} < p$ .

Answer 2

Tampoco estoy de acuerdo con esa solución. Aquí hay otra solución para $\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i} \subset (-\infty,y].$ Supongamos que no, hay un número real $x\in\bigcap_{i=1}^{\infty}A_{i}$ mayor que $y$ .como $x>y$ hay un número positivo $\epsilon$ tal que $x=y+\epsilon$ . Pero hay un gran número natural $N$ tal que $\frac{1}{N} <\epsilon$ . Significa $x \notin A_N$ . Así que no hay tal $x$ . Hecho.

Answer 3

Dejemos que $a\in\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i$ ans asumir negativamente que $a>y$ . por lo tanto $\epsilon=a-y>0$ . Ahora bien, como $\lim_{n\rightarrow\infty}{1/n}=0$ Hay algunos $N$ tal que $1/N<\epsilon$ lo que significa:

$y+1/N<y+\epsilon=a$

Por lo tanto, $a\notin(-\infty,y+1/N]=A_N$ y esto es una contradicción. Eso significa que $a\le y$ , lo que significa que $a\in(-\infty,y]$

De todo eso, $\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i \subseteq (-\infty, y]$