Resuelve la ecuación $2^{1-x} + 2^{\sqrt{2x-x^2}}=3 $

Question

Resuelve la ecuación $$2^{1-x} + 2^{\sqrt{2x-x^2}}=3 \tag 1$$ sobre los reales, utilizando conocimientos elementales (se permite utilizar trigonometría o logaritmos, pero sin límites, cálculo diferencial, etc.)

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Tenemos que encontrar soluciones en $[0,2]$ intervalo. Dos soluciones son fáciles de detectar $x=0, x=1$

Reescribiendo (1) obtenemos: $$2^{1-x} =3-2^{\sqrt{2x-x^2}} \tag 2$$ El lado izquierdo está disminuyendo. El lado derecho es decreciente en $[0,1]$ y aumentando en $[1,2]$ . Se deduce que no hay soluciones en $(1, 2]$ .

El único intervalo que no puedo cubrir es (0, 1).

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Para empezar con una observación aparentemente aleatoria, observe que

$$4(1-s^2)\gt(2-s)^2\quad\text{for }0\lt s\le{1\over\sqrt2}\approx0.707$$

Esto se debe a que la desigualdad se simplifica a $s(4-5s)\gt0$ que es válida para $0\lt s\lt{4\over5}=0.8$ .

Y ahora, a trabajar. Como señaló Takahiro Waki en los comentarios, la ecuación $2^{1-x}+2^{\sqrt{2x-x^2}}=3$ equivale a

$$2^{\sin\theta}+2^{\cos\theta}=3$$

con $-{\pi\over2}\le\theta\le{\pi\over2}$ . Es fácil ver que $2^{\sin\theta}+2^{\cos\theta}\lt3$ para $-{\pi\over2}\le\theta\lt0$ y la igualdad se alcanza en $\theta=0$ y $\theta={\pi\over2}$ (correspondiente a $x=1$ y $x=0$ respectivamente). Por lo tanto, queda por demostrar

$$2^{\sin\theta}+2^{\cos\theta}\gt3\quad\text{for }0\lt\theta\lt{\pi\over2}$$

En realidad, por la simetría $\sin({\pi\over2}-\theta)=\cos\theta$ (y viceversa), sólo tenemos que demostrarlo en el intervalo $0\lt\theta\le{\pi\over4}$ . Ahora abreviemos esto a

$$2^s+2^c\gt3$$

donde $0\lt s\le{1\over\sqrt2}$ y $c=\sqrt{1-s^2}$ . Para demostrarlo, hagamos un uso inteligente de AGM :

$$2^s+2^c=2^s+2^{c-1}+2^{c-1}\ge3\sqrt[3]{2^{s+2c-2}}$$

Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar $s+2c-2\gt0$ para $0\lt s\le{1\over\sqrt2}$ . Pero esto es sencillo: Ya que $c\ge0$ tenemos

$$\begin{align} s+2c-2\gt0 &\iff2c\gt(2-s)\\ &\iff4c^2\gt(2-s)^2\\ &\iff4(1-s^2)\gt(2-s)^2 \end{align}$$

lo que nos lleva de nuevo a la observación obviamente no aleatoria del principio.

Answer 2

La función $f(x)=2^{1-x} + 2^{\sqrt{2x-x^2}}$ tiene como dominio $[0,2]$ y la derivada es $f'(x)= \log 2(\frac{2^{\sqrt{2x-x^2}}(x-1)}{\sqrt{2x-x^2}}-2^{1-x})$ .

$f$ tiene un máximo en $x_m$ , $f(x_m)\gt 3$ y $f(2)=\frac 32$ Además $f$ es decreciente en el intervalo $[x_m,2]$ .

De ello se desprende que $f(0)=3$ hay un único otro valor en el dominio $[0,2]$ para lo cual $f(x)=3$ . Este valor es aparente e igual a $1$ .

Por lo tanto, las únicas soluciones son $\color{red}0$ y $\color{red}1$ .

Answer 3

Esto es lo que hice:

$2^{1-x} + 2^{\sqrt{2x - x^2}} = 2 + 1$

Ahora bien, como $2$ no es un factor de $3$ entonces $3$ sólo puede escribirse de esta forma.

Al comparar las dos partes, vemos claramente que $1-x=0$ o $1-x=1$ dando como únicas soluciones (0,1).