Mínimo del valor absoluto de dos elementos de matrices unitarias

Question

Dadas dos matrices unitarias $A \in\mathcal{M}_{n\times n}=\{a_{ij}\}_{i,j \in {1..n}}$ y $B \in\mathcal{M}_{p\times p}=\{b_{ij}\}_{i,j \in {1..p}}$ donde n>p.

¿Puedo decir que $\min(|\{a_{ij}\}_{i,j \in {1..n}}|)\leq \min(|\{b_{ij}\}_{i,j \in {1..p}}|)$ ?

Answer 1

Contraejemplo con matrices reales : Sea $A=Id\in \mathcal{M}_{3\times3}$ . Entonces $A$ es trivialmente unitaria. Ahora dejemos que $$B=\begin{pmatrix} cos(\theta) && -sin(\theta)\\ sin(\theta) && cos(\theta) \end{pmatrix}$$

Sea la matriz de rotación (por tanto ortogonal, que es un caso especial de unitaria) del ángulo $\theta$ en el plano. Para $\theta\in (0,\frac{\pi}{2})$ , ambos $|cos(\theta)|$ y $|sin(\theta)|$ son menores que uno, así que tu desigualdad no se sostiene.