¿Qué es el plano de Fano orientado?

Question

Una forma de recordar la tabla de multiplicación de los octoniones es utilizar el siguiente diagrama (que obtuve de la obra de John Baez papel en línea ): si $(e_i,e_j,e_k)$ es una de las líneas enumeradas según el orden cíclico indicado en el diagrama, entonces $e_ie_j=e_k$ y $e_je_i=-e_k$ en $\mathbb O$ .

Si olvidamos la orientación cíclica de las líneas, ésta es, por supuesto, una representación bien conocida del plano de Fano $P^2(\mathbb F_2)$ que es un ejemplo de muchas estructuras diferentes: es un sistema triple de Steiner, un cuasigrupo, &c.

¿Qué tipo de objeto es este orientado ¿Avión de Fano?

NB1: La búsqueda ingenua en Google informa del concepto de Sistemas triples Mendelsohn y de sistemas triples transitivos , los cuales son enriquecimientos de la noción de sistemas triples de Steiner con ordenamientos en los bloques. Sin embargo, el plano de Fano orientado anterior no es un ejemplo de estos conceptos.

NB2: Una manera de reconstruir la orientación es la siguiente: es (hasta los automorfismos lineales proyectivos) la única manera de orientar cíclicamente las líneas en el plano de tal manera que para cada punto $x$ el conjunto de tres puntos que siguen $x$ en las tres líneas que la atraviesan es en sí misma una línea. De hecho, es el único sistema triple de Steiner que puede orientarse con esta propiedad.

Answer 1

Esta es una respuesta: Es una línea orientada sobre $\mathbb{F}_7$ .

Una línea afín sobre $\mathbb{F}_7$ es un conjunto de 7 puntos con una acción simplemente transitiva de $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ pero no se distingue su origen. Aquí, no tenemos un origen distinguido y tampoco recordamos la acción de traslación precisa, pero tenemos una noción distinguida de adición por un cuadrado (pensemos en lo que significaría para los números reales). En otras palabras, es un conjunto con siete elementos, dotado de un triple desordenado de acciones simplemente transitivas de $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ , tal que la traslación por 1 bajo una de las acciones es equivalente a la traslación por las clases cuadradas $2$ y $4$ en las otras dos acciones.

Si tomas cualquier par de puntos $(x,y)$ en la imagen anterior y restar sus índices, la orientación de la flecha entre ellos es $x \to y$ si y sólo si $y-x$ es un cuadrado mod 7. Además, un triple de puntos $(x,y,z)$ con flechas dirigidas $x \to y \to z$ es colineal si y sólo si $\frac{z-y}{y-x} = 2$ . Aunque el numerador y el denominador sólo están bien definidos hasta la multiplicación por cuadrados, el cociente es un elemento bien definido de $\mathbb{F}_7^\times$ ya que cada una de las tres acciones de traducción da la misma respuesta. Estos dos datos nos permiten reconstruir el diagrama a partir de la estructura de líneas orientadas.

Existe una interpretación teórica de grupos de este objeto. El hipergrafo orientado que has dado tiene un grupo de automorfismo de orden 21, generado por las permutaciones $(1234567)$ (una de las acciones de traducción) y $(235)(476)$ (cambia la acción de traducción por conjugación). Esto se puede identificar con el cociente $B^+(\mathbb{F}_7)/\mathbb{F}_7^\times$ , donde $B^+(\mathbb{F}_7)$ es el grupo de matrices triangulares superiores con entradas en $\mathbb{F}_7$ y determinante cuadrado invertible, y $\mathbb{F}_7^\times$ es el subgrupo de múltiplos escalares de la identidad. Este grupo es el estabilizador del infinito bajo la acción transitiva del grupo simple de orden 168 sobre la recta proyectiva $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_7)$ . En este sentido, podemos ver el grupo simple como el grupo de automorfismo de una línea proyectiva orientada, ya que es el subgrupo de $PGL_2(\mathbb{F}_7)$ cuyas matrices tienen determinante cuadrado.

Lamentablemente, no conozco una noción natural de orientación en un $\mathbb{F}_2$ -estructura. Intenté algo con torsores sobre $\mathbb{F}_8^\times$ y el Frobenius, pero se convirtió en un lío.

Answer 2

No sé cómo responder a tu pregunta, pero una forma de elegir una orientación es elegir una base del espacio vectorial ${F_2}^3$ . Por base me refiero a una base totalmente ordenada. Por ejemplo, la orientación en la imagen corresponde a la base $e_1$ , $e_2$ , $e_3$ donde me tomo la libertad de identificar una línea con su elemento no nulo. Si se piensa en el espacio vectorial con una base como "el espacio vectorial estándar", entonces se puede pensar en el plano orientado de Fano como el espacio proyectivo estándar.