¿Representaciones de la misma dimensión implican órbitas cerradas isomorfas?

Question

Recordemos este hecho. Sea $G$ sea un grupo algebraico semisimple sobre $\mathbb C$ y que $V,V'$ sean dos irreducibles $G$ -representaciones. Denotamos por $X,X'$ el único cerrado $G$ -orbitas contenidas en $\mathbb P V, \mathbb P V'$ respectivamente. Sabemos que si $$ \mathbb P V \supset X \cong X' \subset \mathbb P V' $$ como proyectiva $G$ -variedades, entonces $\mathbb PV \cong \mathbb PV'$ como espacios proyectivos. En particular, $\dim V=\dim V'$ .

Quiero entender el sentido inverso: si tengo dos irreducibles $G$ -representaciones $W,W'$ de la misma dimensión, ¿debo concluir que el cerrado $G$ -orbits $Y \subset \mathbb P W, Y' \subset \mathbb P W'$ son isomorfas como proyectivas $G$ -¿variedades?

Answer 1

No, esto no es cierto. Por ejemplo, el grupo simpléctico $$ G = \mathrm{Sp}(V), $$ donde $V$ es un espacio vectorial simpléctico de dimensión 6 tiene dos representaciones irreducibles de dimensión 14: $$ V_1 = \wedge^2V^\vee / \langle \omega \rangle, \qquad\text{and}\qquad V_2 = \wedge^3V^\vee / (V^\vee \wedge \omega), $$ donde $\omega$ es la forma simpléctica. Estas representaciones no son isomorfas, así como las órbitas cerradas correspondientes, que son los Grassmannianos isótropos $$ X_1 = \mathrm{IGr}(2,V) \qquad\text{and}\qquad X_2 = \mathrm{IGr}(3,V). $$

Por cierto, la inversa tampoco es cierta a menos que los haces de líneas asociados a las incrustaciones de $X \to \mathbb{P}(V)$ y $X' \to \mathbb{P}(V')$ se identifican por el isomorfismo $X \cong X'$ .