¿Existen grupos no abelianos con un centro "grande"?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito no trivial de orden $n$ y que $p$ sea el factor primo más pequeño de $n$ .

¿Puede el orden del centro ser $\frac{n}{p}$ ?

No he encontrado un ejemplo con GAP hasta $n=255$ . Se me ocurrió utilizar el hecho de que todo subgrupo de $G$ con el pedido $\frac{n}{p}$ es normal, pero no veo cómo demostrar de esta manera que un grupo con al menos $\frac{n}{p}$ los elementos centrales deben ser abelianos, lo que demostraría que no existe ningún grupo con la propiedad deseada.

Answer 1

No, el centro nunca puede tener índice primo, porque $Z(G)$ es normal. Así, $G/Z(G)$ sería un grupo cíclico. Supongamos que $gZ(G)$ es un generador de $G/Z(G)$ . Entonces cada elemento de $G$ puede escribirse como $g^nx=xg^n$ con $x\in Z(G)$ pero esto implica que cada elemento conmuta con $g$ . Así que $g\in Z(G)$ y $G=Z(G)$ es abeliana.