Estoy interesado en conocer cualquier aplicación, cuanto más mundana mejor*. Señalar una buena referencia sobre el tamiz del campo numérico, por ejemplo, estaría bien. Sin embargo, permítanme mencionar una dirección sobre la que estaría especialmente agradecido de aprender.
En mi curso introductorio, me gusta dedicar algo de tiempo a la perspectiva de que la teoría algebraica de números es el estudio de sofisticadas multiplicaciones en $\mathbb{Q}^n$ (un campo numérico algebraico $F$ de grado $n$ ) y en $\mathbb{Z}^n$ (el anillo de enteros algebraicos en $F$ ). Esto se debe en parte a que me sigue pareciendo increíble que un poco de álgebra abstracta (de polinomios irreducibles) nos permite construir tales cosas sistemáticamente**. Pero también creo, al menos medio en serio, que esta es la visión a través de la cual el público en general de los números algebraicos, hasta el momento en que se enseñen en las escuelas primarias dentro de varios miles de años. Después de todo, nosotros mismos hemos sido testigos del notable ascenso de la multiplicación en $\mathbb{F}_2^n$ un conjunto cuyo uso práctico inicial estaba totalmente desprovisto de contenido algebraico, como una poderosa herramienta para el tratamiento de la información.
Después de tan grandiosa reflexión, no puedo evitar preguntarme: ¿son las estructuras multiplicativas en $n$ -partidas de números enteros proporcionadas por la teoría algebraica de los números ya tiene alguna utilidad práctica? Una búsqueda superficial en Google no ha descubierto nada. Pero seguro que debe haber algo. Me encantaría poder mencionar algunos ejemplos a mis alumnos.
Mientras escribo, se me ocurre una clase de ejemplos. Los enteros algebraicos se pueden utilizar para construir grupos aritméticos, que entiendo que se pueden aplicar de varias maneras. Tal vez alguien pueda comentar con conocimiento de causa. Pero algo directo que podría al menos vagamente explicarse en un curso de pregrado sería aún mejor.
Añadido:
Mi ignorancia era tan profunda que ni siquiera conocía los códigos de los campos numéricos hasta que Victor Protsak los señaló en su respuesta. Gracias a él, me topé con un breve encuesta por Lenstra. Para entender lo esencial, basta con leer esta cita:
Los nuevos códigos son los análogos, para los campos numéricos, de los códigos construidos por Goppa y Tsfasman a partir de curvas sobre campos finitos".
La trillada analogía sigue prosperando.
Añadido de nuevo:
Para no confundir a la gente con la palabra "prosperar", debo decir que Lenstra tiene muchas cosas negativas que decir sobre estos códigos. Por ejemplo,
'Si el generalizado Si la hipótesis de Riemann generalizada es cierta, nuestros códigos no son, asintóticamente hablando, tan buenos como los de Goppa y Tsfasman. buenos como los de Goppa y Tsfasman Además, estos últimos códigos son lineales y no mixtos".
Mi pregunta original sigue en pie.
*No quiero, sin embargo, dar la impresión de creer firmemente en la división entre la matemática pura y la aplicada.
** Para apreciar esto, sólo hay que dedicar un poco de tiempo en una aproximación directa utilizando el álgebra multilineal de las constantes de estructura.
