Constante de separación de la EDP de Helmholtz ?

Question

Para la PDE

$$ u_{xx}+u_{yy} + c^2u = 0$$

Tenemos $$ \frac{X''}{X} + \frac{\ddot{Y}}{Y} + c^2 = 0$$

En general, cómo debemos determinar la constante de separación, $\lambda$ ? Y en este caso, ¿cuál sería el más adecuado?

Answer 1

$$\begin{cases}\frac{X''}{X}=\lambda\\\frac{Y''}{Y}=-\lambda-c^2\end{cases}$$ Or, if you prefer $$\begin{cases}\frac{X''}{X}=\lambda'-\frac{c^2}{2}\\\frac{Y''}{Y}=-\lambda'-\frac{c^2}{2}\end{cases}$$ u otras expresiones, ya que puede elegir cualquier $\lambda$ como quieras.