Convergencia del esquema de diferencias finitas para la EDP $u_t+au_{xxx}=f$

Question

Del libro de J.C. Strikwerda Esquemas de diferencias finitas y ecuaciones diferenciales parciales (SIAM), p. 57:

2.2.5. Demuestre que el esquema $$ \frac{v_m^{n+1} - v_m^n}{k} + a\frac{v_{m+2}^{n}- 3 v_{m+1}^{n} + 3 v_m^n - v_{m-1}^{n}}{h^3} = f_m^n $$ es consistente con la ecuación $$ \left[ u_t+au_{xxx}=f \right] \tag{2.2.15}$$ y, si $\nu = kh^{-3}$ es constante, entonces es estable cuando $0\leq a\nu \leq 1/4$ .

En realidad, sé cómo resolver este problema cuando $f=0$ , condición de consistencia ( $Pu-p_{k,h} u$ converge a cero cuando $k,h$ tienden a cero).

• ¿Cómo puedo hacer frente a $f(t_n, x_m)$ ¡¿En este caso?! Creo que necesitamos la función de rejilla en lugar de $f(t_n, x_m)$ . puedo suponer $f(t_n, x_m) =g^n \exp( imhs)$ ?
• ¿Cómo se resuelve la parte de la estabilidad mediante el análisis de von Neumann? ¿Podría ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

En cuanto a la coherencia, amplíe $v_m^{n+1}$ y $v_{m+M}^{n}$ como la serie de Taylor sobre $v_{m}^{n} \simeq u(mh,nk)$ que se inserta en el esquema. Como se explica en la definición 1.4.2 del libro de Strikwerda, la fuente $f$ no importa en la definición de consistencia. Por lo tanto, $$ \frac{v_{m}^{n+1} - v_{m}^{n}}{k} \simeq (u_t)_m^n + O(h,k) $$ $$ \frac{v_{m+2}^{n} - 3 v_{m+1}^{n} + 3 v_{m}^{n} - v_{m-1}^{n}}{h^3} \simeq (u_{xxx})_m^n + O(h,k) $$ demuestra que el esquema es consistente.

Como es habitual, el Von Neumann El análisis consiste en una transformación de Fourier del esquema (véase la sección 2.2 del libro de Strikwerda), y la fuente $f$ puede ser ignorado. Bajo el supuesto de periodicidad, tenemos $$ v_m^{n} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi/h}^{\pi/h} \text{e}^{\text{i}mh\xi}\, \hat{v}^n(\xi) \, d\xi $$ que se inyecta en el régimen. Este paso define el factor de amplificación $g(\theta)$ a determinar, que se define de tal manera que $\hat{v}^{n+1}(\xi) = g(h\xi) \, \hat{v}^{n}(\xi).$ La estabilidad de Neumann impone $|g(\theta)| \leq 1$ .