La versión equivariante del teorema de la función implícita es la siguiente.
Dejemos que $f: \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ sea una función suave (posiblemente sólo definida en vecindades abiertas) que es equivariante con respecto a la acción de un grupo de Lie compacto $G$ en $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m$ . Sea $(t_0, x_0)$ sea tal que $f(t_0, x_0) = 0$ . Supongamos que el estabilizador de $x_0$ es trivial y que $0$ es un punto fijo para la acción sobre $\mathbb{R}^m$ (estas suposiciones no son esenciales pero simplifican el argumento, véase más adelante). Consideremos el llamado complejo de deformación $$\mathfrak{g} \to \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m,$$ donde la primera flecha es la acción del álgebra de Lie en el punto $x_0$ es decir $\xi \mapsto \xi \,. x_0$ y la segunda flecha es el diferencial de $f$ en $(t_0, x_0)$ con respecto a la segunda ranura (es decir, el jacobiano). Si este complejo es exacto, entonces existe una función suave $x: \mathbb{R}^p \to \mathbb R^n$ tal que $$ \{ (t, g \cdot x(t)) | t \in \mathbb R^p, g \in G \} = f^{-1}(0). $$
(Soy un poco descuidado aquí y en la prueba de abajo: todo tiene que estar restringido a los barrios abiertos de $t_0$ , $e \in G$ y $0 \in \mathbb{R}^m$ etc.).
Observación: Tu suposición sobre la derivada es equivalente a la exactitud del complejo en la primera flecha. Sin embargo, como supones que $n = m$ El complejo nunca es exacto en la segunda flecha. Lo que se podría hacer es aplicar este resultado a la función $pr \circ f$ , donde $pr$ es la proyección sobre la imagen del jacobiano.
Prueba: Dado que $G$ es compacto, y la acción es libre en $x_0$ existen coordenadas de corte alrededor de $x_0$ es decir, existe un mapa $\iota: \mathbb{R}^{n-d} \to \mathbb{R}^n$ tal que $\iota(0) = x_0$ y tal que $\chi: G \times \mathbb{R}^{n-d} \to \mathbb{R}^n, (g, y) \mapsto g \cdot \iota(y)$ es un difeo local (aquí $d$ es la dimensión de $G$ ). Definir el mapa $F: \mathbb{R}^p \times \mathbb{R}^{n-d} \to \mathbb{R}^{n}$ por $F(t, y) = f(t, \iota(y))$ . La suposición sobre la exactitud del complejo de deformación es equivalente a la invertibilidad del jacobiano de $F$ . Por lo tanto, utilizando el teorema de la función implícita ordinaria, existe $y(t)$ tal que $F(t, y(t)) = 0$ y todo punto de este tipo en el conjunto de nivel cero es de esta forma. Conjunto $x(t) = \iota(y(t))$ y la afirmación sigue como $\chi$ es un difeo local.
Observación final: El enunciado se generaliza directamente a las acciones sobre variedades, y basta con la propiedad de la acción (en lugar de la compacidad de $G$ ). De hecho, se generalizan incluso al entorno de dimensión infinita. Además, las suposiciones sobre los estabilizadores de $x_0$ y $f(t_0, x_0)$ puede relajarse. Puede encontrar los detalles en mi tesis doctoral https://arxiv.org/abs/1909.00744 y en el papel https://arxiv.org/abs/2010.10165 .
