Conversión entre funciones trigonométricas y funciones trigonométricas hiperbólicas

Question

Utilizando las identidades trigonométricas podemos ver que $\sin^2 x + \cos^2 x = \tanh^2 x + \text{sech}^2 x = 1$ y así el gráfico paramétrico $(\cos t, \sin t)$ es similar a $(\text{sech} t, \tanh t)$ . El primer gráfico produce un semicírculo cuando $-\frac \pi2 \le t \le \frac \pi2$ y el segundo gráfico cuando $-\infty \lt t \lt \infty$ . Mi pregunta es si es posible convertir entre los gráficos; por ejemplo, si hay una función $f$ donde $(\text{sech} t, \tanh t) = (\cos f(t), \sin f(t))$ .

Answer 1

Usted quiere que el Función gudermanniana se define por $$\operatorname{gd}{x} = \int_0^x \operatorname{sech}{y} \, dy$$ En particular, esto se puede expresar, cambiando las variables, como $$\operatorname{gd}{x} = (\operatorname{sgn}{x}) \arccos{(\operatorname{sech}{x})} = \arcsin{(\tanh{x})},$$ así que $$\cos{(\operatorname{gd}{x})} = \operatorname{sech}{x},\\ \sin{(\operatorname{gd}{x})} = \tanh{x},$$ y luego todo sigue como usted desea, ya que $\operatorname{gd}:(-\infty,\infty) \to (-1,1)$ de forma biyectiva.