$sp^3$ Funciones de onda de hibridación y densidad de probabilidad

Question

He trazado una densidad de probabilidad de orbitales sp3-híbridos tipo hidrógeno y se ve así:

Puedo trazar 4 densidades de probabilidad superpuestas en una forma tetraédrica:

Hasta ahora se ve bien. Pero cuando intento sumar los orbitales (funciones de onda) y elevar al cuadrado la función resultante para obtener la densidad de probabilidad, siempre me sale una esfera:

Así que tengo las siguientes preguntas:

1.) ¿Es éste un resultado esperado? Si no es así, ¿qué estoy haciendo mal?

2.) ¿Qué es lo que se suele representar en los esquemas de hibridación sp3: funciones de onda superpuestas, sumas de las funciones de onda, densidad de probabilidad u otra cosa?

Answer 1

El $sp^3$ Los orbitales son una mezcla de un $s$ orbital y los tres $p$ orbitales y forman cuatro híbridos equivalentes. Debido a la ortogonalidad, se puede demostrar que los orbitales tienen la siguiente forma:

$$|h_1\rangle=\frac{1}{2}\left(|s\rangle+|p_x\rangle+|p_y\rangle+|p_z\rangle\right)\\ |h_2\rangle=\frac{1}{2}\left(|s\rangle+|p_x\rangle-|p_y\rangle-|p_z\rangle\right)\\ |h_3\rangle=\frac{1}{2}\left(|s\rangle-|p_x\rangle+|p_y\rangle-|p_z\rangle\right)\\ |h_4\rangle=\frac{1}{2}\left(|s\rangle-|p_x\rangle-|p_y\rangle+|p_z\rangle\right)$$

La adición de todos los orbitales híbridos es, espera, una $|s\rangle$ ¡orbital! Así que sí, debería ser un orbital esférico.

Fuente: Estructura electrónica de los materiales, A. Sutton