¿Categorías primero o categorías después en el álgebra básica?

Question

Hace poco, en el curso de álgebra de primer año de Melvyn Nathason, me acordé de un debate que he mantenido tanto en mi interior como en el exterior durante algún tiempo. Para bien o para mal, el curso en el que la mayoría de los estudiantes utilizan y aprenden por primera vez la teoría de categorías extensas y la persecución de flechas es en un curso de álgebra avanzada, ya sea un curso de álgebra abstracta de licenciatura con honores o un curso de álgebra de primer año de posgrado.

(Vale, eso no es del todo cierto, tú puede primero aprender sobre ella también en la topología. Pero es realmente en el álgebra donde tiene el mayor impacto. La topología se puede hacer completamente sin ella, mientras que el álgebra sin ella, más allá de lo básico, se vuelve bastante engorrosa. Además, los métodos homológicos se vuelven prácticamente imposibles).

Nunca me he sentido muy cómodo con la teoría de las categorías. Siempre me ha parecido que renunciar a los elementos y tratar con objetos que sólo son conocibles hasta el isomorfismo era un enorme salto de fe que las matemáticas modernas deberían superar. Pero he intentado ser un buen matemático y aprenderlo por mi propio bien. El hecho de que esté profundamente interesado en el álgebra hace que esto sea más prioritario.

Mi pregunta es si realmente la teoría de categorías debe introducirse de un salto en un curso serio de álgebra. El profesor Nathanson comentó en una conferencia que hace poco vio a su viejo amigo Hyman Bass, y discutieron sobre la enseñanza del álgebra con y sin teoría de categorías. Ambos habían aprendido álgebra en su época de estudiantes con van der Waerden (que, por cierto, es la principal referencia para el curso y sigue siendo su libro de álgebra favorito a pesar de estar irremediablemente anticuado). Melvyn dio una construcción categórica del Teorema del Isomorfismo Fundamental de los Grupos Abelianos después de que Bass diera una declaración clásica del resultado. Bass dijo: "Es el mismo resultado expresado en dos lenguajes diferentes. Realmente no importa si usamos el enfoque de alta tecnología o no". ¿Estarían los algebristas de generaciones posteriores de acuerdo con el profesor Bass?

Algunos de mis compañeros de posgrado piensan que la teoría de conjuntos debería abandonarse por completo y tirarse a la misma papelera que los infinitesimales de Newton (a pesar de las construcciones no estándar) y creen que todos los estudiantes deberían aprender la teoría de categorías antes de aprender cualquier otra cosa. Personalmente, creo que la teoría de categorías resultaría totalmente misteriosa para los estudiantes si no contaran con una reserva considerable de ejemplos a los que recurrir. Las categorías y las propiedades universales son vastas generalizaciones de un gran número no sólo de ejemplos concretos, sino también de ciertos teoremas. Como tal, creo que es mucho mejor aprenderla después de haber adquirido una considerable fascinación por las matemáticas -después, como mínimo, de cursos de licenciatura en topología y álgebra-.

El maravilloso libro de Paolo Aluffi Álgebra:Capítulo 0 La oposición suele utilizarlo como contraejemplo, ya que utiliza mucho la teoría de las categorías desde el principio. Sin embargo, señalo que el propio Aluffi afirma claramente que se trata de un curso para estudiantes avanzados y aconseja encarecidamente que primero se tenga cierta formación en álgebra. Me gusta mucho el libro, pero estoy de acuerdo.

¿Qué opina el consejo sobre esta cuestión? ¿Categorías tempranas o categorías tardías en la formación de los estudiantes?

Answer 1

Las respuestas de Greg Kuperberg y Andreas Blass son geniales. Permítanme añadir algo:

La mayoría de mis ideas matemáticas están formuladas en términos de teoría de categorías. Sin embargo, esto no significa que las ideas no existan sin la teoría de las categorías. Más bien, la teoría de las categorías es un lenguaje universal y una caja de herramientas para reunir y transportar estas ideas.

Me molesta un poco cuando en todas estas clases de álgebra básica se presenta la teoría de categorías como algo exótico y muy complicado (y se pospone para capítulos posteriores). En particular, cuando los estudiantes piensan entonces que la compatibilidad de, digamos, las localizaciones con las localizaciones tiene que comprobarse con horribles fracciones dobles. Quizás sea el mejor momento para mostrarles que escribir el functor hom y usar el lema de Yoneda simplifica mucho la prueba. Entonces probablemente aprecien este método también en otras situaciones y empiecen a pensar en morfismos en lugar de en elementos. Además, pueden separar las afirmaciones triviales de las interesantes ;). Por ejemplo, debería ser obvio después de este curso que las localizaciones conmutan con sumas directas, pero no necesariamente con productos directos (¡dirección de la flecha equivocada!).

Pero este paso hacia la teoría de las categorías sólo puede hacerse cuando existe una motivación específica. Por ejemplo, es una buena idea introducir los funtores en un curso de topología algebraica después de habiendo comprobado que la homología singular es, lo que se llama entonces, una teoría de homología generalizada. En el álgebra básica se deben introducir primero las categorías cuando se puedan establecer sin mucho esfuerzo teoremas categoriales que se puedan aplicar a problemas concretos. Por ejemplo, no se debe utilizar el teorema de representabilidad de Freyd para demostrar la existencia de productos tensoriales, cuando sólo se desea reunir algunos datos básicos sobre ellos. Pero puede ser una buena idea demostrar que la ecuación $Hom(M \otimes N,P) = Hom(M,Hom(N,P))$ implica formalmente que $M \otimes -$ es exacto a la derecha, y luego introducimos los funtores adjuntos y otros ejemplos. Bastantes textos de álgebra demuestran la exactitud correcta mediante un cálculo tedioso que no es más que un caso especial de una composición de Yoneda y adjunto.

Aunque no me gusta la repetición en los cursos básicos de álgebra, hace posible desarrollar algunos metateoremas por analogía para ti (que quizás se precisen cuando estudies la teoría de categorías avanzada más adelante). Por ejemplo, cuando hayas entendido la construcción de grupos abelianos libres, álgebras libres y otras construcciones libres, probablemente también podrás adivinar que deben existir grupos libres, incluyendo cómo se construyen y qué propiedad universal los caracteriza.

Answer 2

En respuesta a la pregunta de Andrew, creo que realmente depende del estudiante. Yo empecé a aprender la teoría de las categorías al final de mi adolescencia por el tipo de preguntas que me hacía y que, según descubrí, podían responderse con la teoría de las categorías. Me pareció que era algo que encajaba y me proporcionó herramientas que utilizo a diario en mi vida matemática.

A veces encontraba una aplicación de la teoría de las categorías a un área de la que no sabía demasiado, pero como la aplicación parecía bastante interesante, me motivaba a aprender más sobre el área. Mi propia sensación es que la teoría de las categorías me ayudó a aprender matemáticas más rápidamente de lo que podría hacerlo de otra manera, en parte porque me ayudó a proporcionar marcos conceptuales amplios en los que encajar los nuevos conocimientos adquiridos. Así que, en ese sentido, me alegro de haber empezado a aprender la teoría de las categorías desde el principio.

Pero la teoría de categorías no es algo natural para mucha gente (algunas de las personas que han contestado o comentado más arriba, incluidos algunos matemáticos muy distinguidos, no me parece que tengan mucho feeling con el tema). Eso está bien. Si la teoría de las categorías no es algo natural para ti, entonces simplemente aprende la teoría de las categorías según lo que necesites saber, y trata de no decidir de antemano de qué trata el tema (por ejemplo, "acabar con los elementos"). Mi consejo es: no fuerza para aprenderlo a menos que tengas la necesidad de saberlo (y mi opinión es que probablemente lo harás, junto con otras asignaturas).

Con el tiempo, mientras estudias algo a lo que realmente te has enganchado, puede que encuentres algún razonamiento categórico que entre en juego, y te maravilles de lo limpio y eficiente que es, y de cómo despeja el desorden conceptual. Entonces puedes estar en un estado de ánimo adecuado para hacer un estudio más profundo de lo que hace que algún aspecto de la teoría de las categorías "funcione", con una mayor apreciación de para qué sirve la teoría de las categorías, o cómo puede servir a tus fines.

Answer 3

Los cursos de introducción al álgebra tienden a confundir sistemáticamente los productos con los coproductos y, en general, a confundir los objetivos con los dominios. Esto causa sistemáticamente confusión en los estudiantes (¿cuál es la diferencia entre los dos tipos de producto infinito? y ¿por qué hay dos tipos? y ¿cómo decido cuál usar cuando?).

Aunque no se vaya a introducir ninguna teoría de categorías, habría que eliminar esta terrible confusión.

En una nota relacionada, considero un punto extremadamente importante, que debería celebrarse, que para grupos abelianos, o espacios vectoriales, etc., las sumas y los productos coinciden. En mi experiencia, se pasa por alto: "la suma y el producto son lo mismo, así que no te preocupes; y usaré las dos notaciones indistintamente".

Y otra cosa: el producto libre de dos grupos ¿en serio?

Answer 4

Esto es una extensión de parte de mi comentario en otra respuesta. Aprendí la teoría de grupos y disfruté de las partes iniciales, pero luego tuvimos la teoría de Sylow y parecía misteriosa y algo aterradora, ya que no se dio ninguna motivación real en términos de material anterior. Si los estudiantes no ven la necesidad de una parte de las matemáticas, (internamente dentro de la asignatura o para las "aplicaciones") se vuelve misteriosa. La teoría de categorías no es tan diferente de la teoría de grupos en este sentido, así que no hay que darle importancia. Cuando el material de un curso de álgebra se simplifica haciéndolo de forma categórica, utiliza un poco de lenguaje categórico, no hagas un escándalo por ello (estoy de acuerdo con las otras respuestas sobre esto).

En los cursos vinculados en Nudos y Superficies y en la teoría combinatoria de grupos, utilizamos propiedades categóricas de los productos, como motivación para la topología del producto, utilizamos situaciones del teorema de van Kampen como motivación para los 'productos libres con amalgama' y señalamos la similitud de la propiedad observable del pushout con la de la unión, por lo que el vKT es naturalmente sobre la preservación de algún tipo en la estructura matemática a saber, el pushout, por algún tipo de construcción, oh querido, el concepto de functor está pidiendo ser introducido y así sucesivamente.

Eso fue en el tercer año de licenciatura y en el cuarto año de matemáticas (en el Reino Unido), y luego, en el nivel de máster, más ejemplos llevaron a la necesidad de formalizar las cosas para que quedara más claro lo que estaba pasando. Creo que funcionó y que los estudiantes lo disfrutaron y lo entendieron.

Answer 5

Un poco de información previa: Soy estudiante de grado y empecé a estudiar teoría de categorías de forma autodidacta a principios de segundo curso de universidad, sobre todo por mi interés en la lógica y los fundamentos. Desde entonces he disfrutado de este hecho porque conocer algo de teoría de categorías me ha ayudado a entender muchos conceptos que he aprendido más rápidamente de lo que lo habría hecho sin ella, también la teoría de categorías me ha movido a estudiar algunas ramas de las matemáticas como la topología algebraica y la geometría algebraica. Ahora bien, yo distinguiría entre "teoría de categorías" y "el lenguaje y el instrumento de la teoría de categorías": mientras que la primera es una rama abstracta y demasiado específica de las matemáticas, por lo que no es adecuada para ser considerada en los cursos de licenciatura, la segunda es una herramienta conceptual muy útil que debería enseñarse también a los estudiantes de licenciatura. Lo que quiero decir aquí es que (el lenguaje de) la teoría de categorías no debería enseñarse en un curso específico, sino que debería enseñarse durante los cursos regulares.

Creo que algunos conceptos básicos como los de categoría y funtor podrían enseñarse desde los primeros cursos de álgebra, ya que estos conceptos no son más abstractos que los de homomorfismo grupo-grupo, homomorfismo anillo-anillo, espacio vectorial-mapa lineal que se enseñan en los cursos de primer año. Las categorías y los funtores pueden mostrarse fácilmente a un público joven como grafos con estructura (es decir, operaciones) y como morfismos de grafos que preservan la estructura. Se pueden dar muchos ejemplos de aquellos conceptos que pueden ser entendidos por los estudiantes de grado: las categorías de puntos de grafos y caminos de grafos, la categoría de conjuntos y funciones, la categoría de grupos y homomorfismos de grupos, espacios vectoriales y mapas lineales, pero también monoides, grupos y poset como categorías. En particular es muy útil hacer estos últimos ejemplos en los primeros cursos porque ayudan a familiarizarse con la abstracción antes de que la mente se corrompa con lo concreto (recuerdo que después de haber hecho algo de álgebra básica encontré muchas dificultades para entender por qué los monoides deben ser categorías con un objeto). Otro buen conjunto de ejemplos de categoría que son bastante fáciles de entender y (en mi opinión genial) son los de objetos (que pueden ser moléculas, estados de autómatas, estados de sistemas dinámicos,...) y procesos que transforman un objeto en otro. Estos ejemplos son muy interesantes porque abren el camino a la aplicación de la teoría de las categorías también a otras ciencias, además de dar ejemplos realmente concretos de categorías.

Obviamente, los conceptos categóricos deben introducirse de forma muy gradual, por ejemplo, es inútil enseñar la transformación natural antes de haber visto las homotopías y la representación de los grupos (o equivalentemente las acciones de los grupos), lo mismo se aplica a otros conceptos más complejos: cada cosa debe introducirse en el momento adecuado.

Muchos objetarían que probablemente los conceptos deberían presentarse cada vez que se necesitan. A esas personas les diría que probablemente tengan razón, de todos modos nadie me ha presentado nunca conceptos abstractos como los de grupos y anillos con alguna motivación, lo mismo se aplica a los espacios topológicos, las motivaciones para introducir estos objetos llegaron tarde, cuando se introdujeron algunos resultados que nos dan un marco más abstracto en el que algunos tipos de problemas tienden a simplificarse y generalizarse.

La última motivación para enseñar la teoría de las categorías a una edad temprana es que muchas veces ver las cosas desde un punto de vista abstracto ayuda cuando queremos cambiar las construcciones de las categorías, donde estas construcciones se construyen de forma natural, a otras categorías (me viene a la mente el ejemplo de las homotopías de los complejos en el álgebra homológica) y también muestra la unidad profunda de muchos objetos matemáticos que tal vez al principio parecen no estar relacionados.

Antes de terminar también me gustaría añadir algo de motivación al por qué no esperar a enseñar la teoría de las categorías en cursos avanzados: si lo haces suele ocurrir que estos conceptos categóricos se presentan de forma muy rápida que dificultan la toma de familiaridad con dichos conceptos y que no permiten comprender en profundidad el significado y la utilidad de los resultados categóricos.

Un último comentario: No sé por qué pero cada vez que pienso en aquellas personas que consideran la teoría de las categorías demasiado abstracta e inútil me recuerdan lo que dijo Kronecker sobre Cantor, y esto me hace sonreír.