¿Categorías primero o categorías después en el álgebra básica?

Question

Hace poco, en el curso de álgebra de primer año de Melvyn Nathason, me acordé de un debate que he mantenido tanto en mi interior como en el exterior durante algún tiempo. Para bien o para mal, el curso en el que la mayoría de los estudiantes utilizan y aprenden por primera vez la teoría de categorías extensas y la persecución de flechas es en un curso de álgebra avanzada, ya sea un curso de álgebra abstracta de licenciatura con honores o un curso de álgebra de primer año de posgrado.

(Vale, eso no es del todo cierto, tú puede primero aprender sobre ella también en la topología. Pero es realmente en el álgebra donde tiene el mayor impacto. La topología se puede hacer completamente sin ella, mientras que el álgebra sin ella, más allá de lo básico, se vuelve bastante engorrosa. Además, los métodos homológicos se vuelven prácticamente imposibles).

Nunca me he sentido muy cómodo con la teoría de las categorías. Siempre me ha parecido que renunciar a los elementos y tratar con objetos que sólo son conocibles hasta el isomorfismo era un enorme salto de fe que las matemáticas modernas deberían superar. Pero he intentado ser un buen matemático y aprenderlo por mi propio bien. El hecho de que esté profundamente interesado en el álgebra hace que esto sea más prioritario.

Mi pregunta es si realmente la teoría de categorías debe introducirse de un salto en un curso serio de álgebra. El profesor Nathanson comentó en una conferencia que hace poco vio a su viejo amigo Hyman Bass, y discutieron sobre la enseñanza del álgebra con y sin teoría de categorías. Ambos habían aprendido álgebra en su época de estudiantes con van der Waerden (que, por cierto, es la principal referencia para el curso y sigue siendo su libro de álgebra favorito a pesar de estar irremediablemente anticuado). Melvyn dio una construcción categórica del Teorema del Isomorfismo Fundamental de los Grupos Abelianos después de que Bass diera una declaración clásica del resultado. Bass dijo: "Es el mismo resultado expresado en dos lenguajes diferentes. Realmente no importa si usamos el enfoque de alta tecnología o no". ¿Estarían los algebristas de generaciones posteriores de acuerdo con el profesor Bass?

Algunos de mis compañeros de posgrado piensan que la teoría de conjuntos debería abandonarse por completo y tirarse a la misma papelera que los infinitesimales de Newton (a pesar de las construcciones no estándar) y creen que todos los estudiantes deberían aprender la teoría de categorías antes de aprender cualquier otra cosa. Personalmente, creo que la teoría de categorías resultaría totalmente misteriosa para los estudiantes si no contaran con una reserva considerable de ejemplos a los que recurrir. Las categorías y las propiedades universales son vastas generalizaciones de un gran número no sólo de ejemplos concretos, sino también de ciertos teoremas. Como tal, creo que es mucho mejor aprenderla después de haber adquirido una considerable fascinación por las matemáticas -después, como mínimo, de cursos de licenciatura en topología y álgebra-.

El maravilloso libro de Paolo Aluffi Álgebra:Capítulo 0 La oposición suele utilizarlo como contraejemplo, ya que utiliza mucho la teoría de las categorías desde el principio. Sin embargo, señalo que el propio Aluffi afirma claramente que se trata de un curso para estudiantes avanzados y aconseja encarecidamente que primero se tenga cierta formación en álgebra. Me gusta mucho el libro, pero estoy de acuerdo.

¿Qué opina el consejo sobre esta cuestión? ¿Categorías tempranas o categorías tardías en la formación de los estudiantes?

Answer 1

Hay una gran diferencia entre enseñar la teoría de las categorías y simplemente prestar atención a las cosas que la teoría de las categorías aclara (como la diferencia entre productos directos y sumas directas). En mi opinión, esto último debería hacerse al principio (y al final, y en todos los demás momentos); no hay razón para la dejadez intencionada. Por otra parte, la enseñanza de la teoría de las categorías se realiza mejor después de que los alumnos hayan sido expuestos a algunos de los ejemplos pertinentes.

Hace muchos años, impartí un curso sobre teoría de categorías y, en mi opinión, fue un fracaso. Muchos de los alumnos no habían visto previamente los ejemplos que yo quería utilizar. Una de las bellezas de la teoría de categorías es que unifica muchos conceptos de aspecto diferente; por ejemplo, los adjuntos a la izquierda de funtores olvidados incluyen grupos libres, álgebras envolventes universales, compactificaciones de Stone-Cech, abelianizaciones de grupos y muchos más. Pero la belleza es difícil de transmitir cuando, además de explicar la noción de adjunto, hay que explicar cada uno (o al menos varios) de estos casos especiales. Así que creo que la teoría de las categorías debería enseñarse en la etapa en la que los estudiantes ya han visto suficientes casos especiales de sus conceptos para apreciar su unificación. Sin los ejemplos, la teoría de las categorías puede parecer terriblemente inmotivada y poco intuitiva.

Answer 2

No iba a opinar sobre esto, ya que creo que esto es definitivamente "subjetivo y argumentativo" (particularmente lo último), y cuando antes hablé a favor de la teoría de las categorías en la educación de pregrado, provocó algunos comentarios y me recordó por qué me gusta el hecho de que se suprima la discusión en MO. Pero dado que un lado de la discusión ya está aquí, y el otro no está tan bien representado, voy a responder.

Permítanme empezar declarando: "No soy un teórico de la categoría". Soy un topólogo diferencial. Las cuestiones fundacionales me dejan frío, las cuestiones de tamaño no me preocupan. Aceptaré cualquier marco axiomático si alguien lo desea (soy un miembro de pleno derecho del partido "Axioma de elección"). Para entrar en el mundo culinario de Greg por un momento, estas cosas son un poco como el queso noruego. Puedo ver que para la persona adecuada, es delicioso. Pero yo no soy esa persona.

Para seguir con la analogía, la teoría de las categorías no es un ingrediente que se pueda añadir para darle un sabor extra, pero que no a todo el mundo le gusta. La teoría de la categoría es como cocinar con ingredientes orgánicos recién cosechados, en contraposición a los insípidos y aburridos productos envasados del gran supermercado. Sólo hay que hacer un El ingrediente orgánico no tiene mucho efecto en el sabor de todo el plato, pero el cambio de todo el lote sí.

Pero vayamos al asunto que nos ocupa: los estudiantes universitarios y la teoría de las categorías. Creo que la teoría de las categorías es una forma excelente de entender y expresar los conceptos matemáticos. En mi propio trabajo compruebo que, una y otra vez, cuando expreso mis ideas utilizando un lenguaje categorial, éstas resultan más claras tanto para mí como para los demás. Creyendo esto, como lo hago, ¿por qué iba a querer privar a mis alumnos de los mismos beneficios?

Así que enseño a mis alumnos la teoría de las categorías. No les digo necesariamente que les estoy enseñando teoría de categorías, como tampoco les digo que les estoy enseñando lógica, o cómo escribir pruebas, o incluso los fundamentos de la gramática inglesa. Pero utilizo las ideas y expresiones de la teoría de las categorías porque creo que facilita a los alumnos el aprendizaje de "otras" matemáticas .

En particular, en mi curso actual, estoy tratando de enseñar a mis estudiantes las siguientes cosas:

1. Centrarse en procesa en lugar de cosas . Llámalos "morfismos" y "objetos" y eso es la teoría de las categorías. No les digo que lo hagan porque eso es lo que nos dice la teoría de categorías, les digo que lo hagan porque eso es lo que nos dice el Mundo Real(TM): las matemáticas (les digo) tratan de modelar el mundo real, y lo básico que uno quiere modelar es un proceso .

2. Transferir conocimientos de un espacio conocido a un espacio desconocido. Aquí tenemos la extensión de la idea matemática de "función sobre la forma". Es decir, una cosa no se define por lo que es (objeto) sino por lo que hace (en qué categoría está). Pero podemos ir un paso más allá y decir que lo importante no es sólo lo que hace en sí, sino cómo se relaciona con las cosas que le rodean (¿qué morfismos hay desde él a otros objetos de la categoría?). En particular, si tengo un espacio vectorial desconocido $V$ (desconocido en el sentido de que no sé mucho sobre él en lugar de no saber cómo definirlo), gano mucho conocimiento si puedo encontrar un isomorfismo $V \cong \mathbb{R}^n$ porque ya sé mucho sobre $\mathbb{R}^n$ .

   En un reciente coloquio, expuse este punto (con bastante fuerza) diciendo que la teoría de las categorías es matemáticas de ubuntu : "Soy lo que soy por lo que somos todos".

3. Para poder cambiar las punto de vista para adaptarse al problema en cuestión. Digamos "buscar lo que se conserva bajo isomorfismo" y tendremos uno de los principios centrales de la teoría de categorías: que los objetos isomorfos no deben distinguirse. Esto es una extensión natural de lo anterior. Una vez que sabemos que un isomorfismo $V \cong \mathbb{R}^n$ es algo bueno, la siguiente pregunta es si hay o no una mejor isomorfismo (para el problema que nos ocupa).

En resumen, la teoría de las categorías no es una "parte de las matemáticas" que se enseñe como un extra opcional en los niveles superiores, junto con el álgebra homológica, la teoría de Lie y lo que sea que hagan los estadísticos de abajo. Puede (y debe) impregnar toda nuestra enseñanza. porque facilita el aprendizaje . Enseñarlo como una asignatura independiente en sí no es necesariamente algo malo, pero sí lo es si ese es el sólo La forma en que se enseña, y por sí misma puede parecer muy árida, abstracta y desconectada. Pero enseñarlo por sí mismo es un poco como enseñar lógica sin mencionar nunca a Raymond Smullyan. De hecho, la comparación con la lógica es acertada: esperamos que nuestros alumnos adquieran los fundamentos de la lógica sobre la marcha. En realidad, no hay muchos alumnos que estudien la lógica como asignatura por sí misma, pero si alguien preguntara "¿Debemos utilizar la lógica cuando enseñamos a los estudiantes de grado?", se cerraría al instante como "No es una pregunta real".

Answer 3

En mi opinión, la teoría de las categorías es a las matemáticas lo que el ajo es a la cocina. Es un ingrediente muy extendido que añade un sabor muy importante. Pero, por lo general, debe picarse y mezclarse, y utilizarse con moderación.

(Así que mi respuesta a tu pregunta de temprano vs. tarde es, un poco de ambos).

Answer 4

Las ideas categóricas deberían introducirse, sin duda, desde el principio, ya que son muy útiles. Por otro lado, como dicen Andreas y Terry, estudiar la teoría de las categorías al principio de la educación matemática es una pérdida de tiempo, y podría ser un desvío, como todo formalismo inmotivado.

Por otro lado, el lenguaje formal de la teoría de las categorías debe aprenderse, y utilizarse, en algunos punto. He visto varios trabajos interesantes escritos por muy buenos matemáticos, que contienen teoremas con afirmaciones como "Es lo mismo dar un thingamabob regular sobre $X$ y un whatchamacallit de von Neuman con una conexión seminormal sobre $X'$ ". Lo que estas afirmaciones suelen significar, es que existe una equivalencia de la categoría de cosas regulares sobre $X$ y la de von Neuman whatchamacallits con una conexión seminormal sobre $X'$ ; pero también podrían significar simplemente que hay una biyección de clases de isomorfismo, y para saber cuál es verdadera hay que estudiar la prueba. Esto significa, supongo, que los autores, que deben haber visto el lenguaje de la teoría de las categorías en un momento dado, no lo han interiorizado, y no tienen la sensación de cuándo es apropiado su uso.

En mi opinión, el concepto de equivalencia de categorías es un verdadero punto de inflexión. Hasta ese momento, probablemente se puede prescindir de él (por ejemplo, las propiedades universales, como la del producto tensorial, se explican fácilmente sin el lenguaje formal); esto es más difícil de hacer con las equivalencias. Por otra parte, no se ven muchos ejemplos de equivalencias al principio de los estudios matemáticos. Tal vez el primero sea el que existe entre coberturas de un espacio, con hipótesis adecuadas, y conjuntos sobre los que actúa su grupo fundamental. Enunciar la conexión entre estas dos clases de objetos como una equivalencia de categorías aclara enormemente las cosas; ojalá alguien me lo hubiera explicado cuando era estudiante, en lugar de decirme simplemente que hay una biyección entre las clases de isomorfismo de las cubiertas conectadas y las clases de conjugación de los subgrupos, y otras afirmaciones con este espíritu, todas ellas descendientes muy inmediatamente del teorema "real", que es la existencia de la equivalencia.

Answer 5

Creo que hay ciertas nociones que son necesarias para "preparar el terreno" para la teoría de las categorías. No creo que los estudiantes vayan a entender la teoría de las categorías a menos que hayan visto algunos de los siguientes ejemplos:

• Teoría de Galois
• Cubrir espacios y pi_1
• La propiedad universal del producto tensorial
• La diferencia entre suma directa y producto directo

Si la gente tiene una formación de grado muy sólida, me parece que en el álgebra de posgrado está preparada para empezar a ver algo de teoría de categorías. Por otro lado, creo que (al contrario de lo que dijo AndrewL) la teoría de categorías se encuentra más en la topología que en el álgebra, así que creo que un curso de álgebra debería introducir el lenguaje de la teoría de categorías, pero no debería ser el énfasis principal del curso (ya que la gente que no ha tomado topología algebraica probablemente no entenderá la teoría de categorías).