Teorema de cambio de variables de Bogachev.

Question

Estoy leyendo la prueba del teorema del cambio de variable de Bogachev. Y estoy atascado en un argumento contenido en ella:

Dejemos que $F:U\subset \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ un inyectivo $C¹$ mapa. Dado $\epsilon>$ existe $\delta>0$ s.t $\forall x,y \in U,~\|x-y\|<\delta$ implica $$ F(x)-F(y)=F^{'}(x)(y-x)+r(x,y) $$ donde $\|r(x,y)\|\leq \epsilon \|x-y\|$ .

Aquí es donde estoy atascado:

Reclamación: Dejemos que $Q$ sea un cubo con centro $x_0$ y un diámetro inferior a $\delta.$ Si $|\det F'(x_0)|\leq \sqrt{\epsilon}$ entonces tenemos que $$ \lambda (L(Q))-\lambda(F(Q))\leq \sqrt{\epsilon}\lambda (Q) $$ donde $L(x)=F^{'}(x_0)(x-x_0)+F(x_0)$ y $\lambda$ es el $n$ -medida de Lebesgue.

¿Puede alguien ayudarme?

Comentario: Creo que el argumento pasa por dar algún límite inferior para $\text{diam}( F(U))$ utilizando de alguna manera la desigualdad $\|F(x)-F(y)\|\geq \|F^{'}(x_0)(x-y)\|-\|r(x,y\|$ .

Answer 1

No sé lo suficiente de la teoría de las medidas, pero como $\lambda(L(Q))=\det L \cdot \lambda(Q)$ Podrías tratar de demostrar que $\det L \le \frac{\lambda(F(Q))}{\lambda(Q)} + |\det F'(x_0)|$ .

Answer 2

$\lambda(L(Q)) - \lambda(F(Q) \leq \lambda(L(Q)) = \lambda(F'(x_0)Q + (F(x_0) - F'(x_0)x_0)) = \lambda(F'(x_0)Q) = |\det F'(x_0)| \lambda(Q) \leq \sqrt{\epsilon}\lambda(Q).$

Donde utilizamos la invariancia de desplazamiento así como la propiedad de escala bajo mapas lineales de medida de Lebesgue, cuyas pruebas pueden verse en Folland, Análisis real , Teorema 2.42 y 2.44 respectivamente.