Demostrar que la longitud del segmento en la tangente es constante para $y=\frac a2\ln{\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}}-\sqrt{a^2-x^2}$

Question

Demostrar que la longitud del segmento de la tangente desde el punto de tangencia hasta el punto donde corta al eje y es constante. $$y=\frac a2\ln{\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{a-\sqrt{a^2-x^2}}}-\sqrt{a^2-x^2}$$

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Después de diferenciar: $$y'=-\sqrt{a^2-x^2}$$ Entonces la tangente es $$(y-k)=-\sqrt{a^2-h^2}(x-h)$$ El punto en el que corta el eje y es $(0,k+h\sqrt{a^2-h^2})$ Así que la longitud es: $$s=\sqrt{h^2+h^2(a^2-h^2)}=h\sqrt{1+h^2-a^2}$$ que no es constante. Hice todo correctamente, lo que debería ser la forma correcta.

Answer 1

Sea el punto de tangencia $P(x_1,y_1)$ . Es fácil comprobar que la pendiente de la recta tangente es $$ m=y'\big|_{x=x_1}=-\frac{\sqrt{a^2-x_1^2}}{x_1}. $$ Por tanto, la ecuación de la recta tangente es $$ y-y_1=--\frac{\sqrt{a^2-x_1^2}}{x_1}(x-x_1) $$ que corta el eje Y en $Q(0,y_1+\sqrt{a^2-x_1^2})$ . Ahora $$ |PQ|=\sqrt{(x_1-0)^2+(y_1-(y_1+\sqrt{a^2-x_1^2}))^2}=a.$$