$f$ es diferenciable en x=1, con $f(1)>0$ . Encuentre $\lim \limits_{n\to \infty}\left( \frac{f\left(1+\frac{1}{n}\right)}{f(1)} \right)^\frac{1}{n} $

Question

$f$ es diferenciable en $x=1$ con $f(1)>0$ . Encuentre $\lim \limits_{n\to \infty}\left( \frac{f\left(1+\frac{1}{n}\right)}{f(1)} \right)^\frac{1}{n}$ .

Esto es lo que tengo hasta ahora: $$\left( \frac{f(1+\frac{1}{n})}{f(1)} \right)^\frac{1}{n} = \exp\left(\frac{1}{n}\left(\log(f\left(1+\frac{1}{n}\right) - \log f(1)\right)\right) = \\ = \exp\left(\frac{1}{n}\left(\log f\left(1+\frac{1}{n}\right) - \log f(1)\right) \cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\right)$$

Ahora, si $f$ es diferenciable en $x=1$ entonces así es $\log(f)$ . Por lo tanto, como $n\rightarrow\infty$ : $$\lim \limits_{n\to \infty}\left(\frac{f\left(1+\frac{1}{n}\right)}{f(1)} \right)^\frac{1}{n} = \exp\left(\lim \limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^2} \cdot(\log f)'(1)\right) = e^0 = 1$$

No estoy muy seguro de eso de que la derivada se anule, ya que podría haber conseguido ese exponente cero de una forma mucho más sencilla. ¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Como $n\to\infty,\dfrac1n\to0$ $$\begin{align}L&=\lim_\limits{n\to\infty}\left(\dfrac{f\left(1+\dfrac1n\right)}{f(1)}\right)^{\frac1n}\\&=\left(\dfrac{f(1)}{f(1)}\right)^0\\&=1^0\\&=1\end{align}$$

Answer 2

Sólo una sugerencia (si se me permite) para facilitar la vida y conseguir más del límite.

Considere $$A=\left( \frac{f\left(1+\frac{1}{n}\right)}{f(1)} \right)^{n^a}\implies \log(A)=n^a \log\left( \frac{f\left(1+\frac{1}{n}\right)}{f(1)} \right)$$ Suponiendo que $f(.)$ es continuamente diferenciable en $x=1$ La serie de Taylor da para valores infinitamente grandes de $n$ $$f\left(1+\frac{1}{n}\right)=f(1)+\frac{f'(1)}{n}+\frac{f''(1)}{2 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ $$\frac{f\left(1+\frac{1}{n}\right)}{f(1)}=1+\frac{f'(1)}{f(1) n}+\frac{f''(1)}{2 f(1) n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ Continuando con Taylor $$\log\left( \frac{f\left(1+\frac{1}{n}\right)}{f(1)} \right)=\frac{f'(1)}{f(1) n}+\frac{f(1) f''(1)-f'(1)^2}{2 f(1)^2 n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ Si $\color{red}{a=1}$ entonces $$\log(A)=\frac{f'(1)}{f(1)}+\frac{f(1) f''(1)-f'(1)^2}{2 f(1)^2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ Taylor de nuevo usando $A=e^{\log(A)}$ $$A=e^{\frac{f'(1)}{f(1)}}\left(1+\frac{f(1) f''(1)-f'(1)^2}{2 f(1)^2 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$$ que muestra el límite y también cómo se aproxima.

Si $\color{red}{a=-1}$ entonces $$\log(A)=\frac{f'(1)}{f(1) n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ $$A=1+\frac{f'(1)}{f(1) n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ que muestra el límite y también cómo se aproxima.