Encontrar parcial fracciones expansiones mentalmente

Question

En un problema en un examen, mis estudiantes se les pidió que encontraran $\displaystyle\int\frac{6x^4-7x^3-13x-6}{x^3-2x^2} dx$,

y un estudiante comenzó escribiendo $\displaystyle\int\frac{6x^4-7x^3-13x-6}{x^2(x-2)} dx=\int\left(\frac{3}{x^2}+6x+\frac{2}{x-2}+\frac{8}{x}+5\right)dx$.

Mi pregunta es cómo alguien puede conseguir este resultado, sin hacer la división o parcial de la fracción de la descomposición, ¿qué técnicas se pueden utilizar para conseguir esto?

Answer 1

$$ \frac{6x^4 - 12 x^3 + 5 x^3 - 10 x^2 + 8 x^2 - 16 x + 2 x^2 + 3x-6 }{x^2(x-2)} $$

$$ \frac{(6x^4 - 12 x^3) + (5 x^3 - 10 x^2) + (8 x^2 - 16 x) + 2 x^2 + (3x-6) }{x^2(x-2)} $$

Mi favorito de la escuela secundaria profesor de matemáticas llamado a la regla "propicio cero", añadiendo y restando la misma cosa para conseguir un aspecto más atractivo de la agrupación.

En el orden escribí cosas, $$ 6x + 5 + \frac{8}{x} + \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x^2} $$

Answer 2

El teorema de los residuos, por ejemplo. Si $f(x)$ es un polinomio con grado de $4$, $$ g(x)=\frac{f(x)}{x^2(x-2)} = \frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x-2}+D+Ex \tag{1}$$ se concede, y $$ A=\text{Res}\left(x\cdot g(x),x=0\right),\quad B = \text{Res}(g(x),x=0),\quad C=\text{Res}(g(x),x=2)\tag{2} $$ son fáciles de calcular a través de una simple límites. Luego, mediante el cálculo de $$ g(x)-\frac{A}{x^2}-\frac{B}{x}-\frac{C}{x-2}, \tag{3} $$ que sabemos de antemano a ser un polinomio con grado de $\leq 1$, recuperamos $D$$E$, demasiado.

Como una alternativa, es lo suficiente como para notar que: $$\begin{eqnarray*}6x^4-7x^3-13x-6 &=& 6x\cdot x^2(x-2)+5x^3-13x-6\\&=&6x\cdot x^2(x-2)+5\cdot x^2(x-2)+10x^2-13x-6 \end{eqnarray*}$$ y: $$ 10x^2-13x-6 = 10\cdot x^2 + 3(x-2)-10 x,\quad \frac{1}{x(x-2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x}\right).$$

Answer 3

En un esquema de nivel, lo que hace que este problema sea "feo" es el $x-2$ en el denominador. Así que la estrategia de resolución de problemas es aislar el $x-2$; el resto debe entonces ser fácil de hacer mentalmente. Para este fin, usted sabe desde el principio de la fracción parcial de la descomposición que $\frac{6x^4-7x^3-13x-6}{x^2(x-2)}$ puede ser escrita en la forma $\frac{p(x)}{x^2} + \frac{c}{x-2}$ para algunas constantes $c$. Así, $$6x^4-7x^3-13x-6 = p(x)(x-2) + cx^2,$$ so in particular $6x^4-7x^3 - cx^2 -13x-6$ is divisible by $x-2$.

Hay un algoritmo estándar para la determinación de cuando un polinomio $a x^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e$ es divisible por $x-2$: es divisible entre si, y sólo si $e+2(d+2(c+2(b+2(a)))) = 0$. En el caso que nos ocupa, esto se traduce a $0=-6+2(-13+2(-c+2(-7+2(6)))) = 8-4c$, lo que significa que $c=2$.

Ahora podemos determinar el $p(x) = \frac{6x^4-7x^3-2x^2-13x-6}{x-2} = 6x^3 + 5x^2 + 8x + 3$. Dividiendo esto por $x^2$ le da a todos los otros términos de la descomposición de la fracción original.

Realmente hay sólo dos cálculos a hacer aquí: averiguar $c$, y la división de $6x^4-7x^3-2x^2-13x-6$$x-2$, tanto de los que razonablemente puede hacer en su cabeza.

Answer 4

Permítanme ampliar Va a Jagy "propicio cero" método un poco, para mostrar el proceso y el razonamiento detrás de esto en más detalle. Vamos a empezar con la expresión original:

$$\frac{6x^4-7x^3-13x-6}{x^3-2x^2}.$$

Tener factoriza el denominador $x^3-2x^2$ a $x^2(x-2)$, queremos reorganizar la expresión en el numerador como para el grupo en términos de que son cada divisible por $x-2$ (o $x^2$). Para ser divisible por $x-2$, cada término debe ser necesariamente de la forma $cx^{n+1}-2cx^n = cx^n(x-2)$ donde $c$ es una constante.

Por ejemplo, claramente $6x^4-7x^3$ no es divisible por $x-2$, pero $6x^4-12x^3$ sería. Podemos agregar $-5x^3 + 5x^3 = 0$ al numerador para obtener el equivalente de la expresión:

$$\frac{(6x^4-12x^3)+5x^3-13x-6}{x^2(x-2)}.$$

Ahora tenemos un nuevo $5x^3$ largo plazo, para resolver, lo que tendría que ser emparejado con $-10x^2$ sea divisible por $x-2$. Así que vamos a añadir a $-10x^2 + 10x^2 = 0$ a el numerador de este momento, para conseguir:

$$\frac{(6x^4-12x^3)+(5x^3-10x^2)+10x^2-13x-6}{x^2(x-2)}.$$

Ahora, se podría seguir el mismo camino con el $10x^2$ plazo, añadiendo $-7x+7x=0$ conseguir $10x^2-13x = (10x^2-20x) + 7x$ y así sucesivamente.

Pero dado que el denominador ya contiene $x^2$, se puede elegir también a aceptar una solitaria $cx^2$ término en el numerador, para luego ser simplificado en $\frac{cx^2}{x^2(x-2)} = \frac{c}{x-2}$. En lugar de eso, podemos pasar a trabajar desde el otro extremo, y recoger el término constante $-6$ a $3x-6$:

$$\frac{(6x^4-12x^3)+(5x^3-10x^2)+10x^2-16x+(3x-6)}{x^2(x-2)}.$$

Y finalmente podemos recoger la $-16x$ plazo en $8x^2-16x$, lo que nos deja con:

$$\frac{(6x^4-12x^3)+(5x^3-10x^2)+2x^2+(8x^2-16x)+(3x-6)}{x^2(x-2)}$$ $$=\frac{6x^3}{x^2}+\frac{5x^2}{x^2}+\frac{2}{x-2}+\frac{8x}{x^2}+\frac{3}{x^2}$$ $$=6x+5+\frac{2}{x-2}+\frac{8}{x}+\frac{3}{x^2}.$$

Todo esto es algo que usted podría ser capaz de hacer puramente mental, si tienes una buena memoria a corto plazo. Pero es ciertamente factible en menos de un minuto con sólo un poco de papel de cero. Sus notas sobre el papel podría ser algo como esto:$\require{cancel}$

$$\frac{6x^4\overset{(-10+2+8)x^2}{\overset{-12+5}{\cancel{-7}x^3}\overset{-16+3}{\cancel{-13}x}}-6}{x^2(x-2)} = 6x+5+\frac{2}{x-2}+\frac{8}{x}+\frac{3}{x^2}.$$