Demuestra que $gK = Kg$ por cada $g \in G$ sabiendo que es cierto para cada representante del coset.

Question

La pregunta original es la siguiente:

Dejemos que $G = S_4$ y que $K = \{ 1, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) \}$ . Determinar los cosets de $K$ en $G$ . Concluir que $gK = Kg$ para todos $g \in G$ .

Utilicé sagemath para calcular los cosets, y verifiqué que para los representantes de la clase que el software eligió esto es cierto (como $(1,2) K = K (1,2)$ ). Pero, ¿cómo se puede extender esto a todos los $g \in G$ ?

Answer 1

Esta es una propiedad de un grupo arbitrario. Elija algún $g\in G$ . Sea $a$ sea un coset representativo de $gK$ para que ya sepas $aK=Ka$ . Entonces $g\in aK$ por suposición, es decir, $a^{-1}g\in K$ . Así que $a^{-1}gK=K$ es decir, $gK=aK$ . También tenemos $g\in Ka$ es decir $ga^{-1}\in K$ . Así que $Kga^{-1}=K$ es decir, $Kg=Ka$ . Ponerlo todo junto: $gK=aK=Ka=Kg$ .