¿Es la característica de Euler el único invariante topológico que es lineal en el número de símiles?

Question

La característica de Euler para un complejo singular de una variedad es un invariante topológico, ya que no cambia bajo la re-triangularización del complejo singular. También es una combinación lineal de números de simplex en cada dimensión.

Mi pregunta es si la característica de Euler es la única combinación lineal de números de simples que es invariante bajo la re-triangularización del complejo singular.

Answer 1

Esta pregunta puede ser difícil de formular con precisión. Si se permite que los coeficientes de la combinación lineal dependan de la topología del espacio, entonces se pueden hacer trivialmente tales combinaciones lineales. Así que tal vez se pregunte si existe un conjunto universal de coeficientes $n_i$ tal que $\sum n_i (\text{# of $ i $-simplices})$ ¿es una invariante topológica? Sospecho que la característica de Euler es la única respuesta hasta los múltiplos escalares, lo que se puede suponer introduciendo varios complejos simpliciales para obtener restricciones en los coeficientes $n_i$ . Por ejemplo, la subdivisión de un intervalo en $k$ subintervalos obtenemos que $n_0\cdot(k+1)+n_1\cdot(k)$ debe ser constante. Esto implica $n_1=-n_0$ . Si se observan las subdivisiones de los símiles de dimensiones sucesivamente más altas, se debería demostrar que $n_i=(-1)^{i}n_0$ , lo que da su invariante como $n_0\cdot \chi$ .