No abelian grupo con infinidad de abelian subgrupos

Question

Estoy buscando un no-grupo abelian que tiene infinidad de abelian subgrupos. ¿Conoces algún ejemplo de tales grupos?

Answer 1

Cualquier infinita grupo $G$ debe tener una infinidad de abelian subgrupos. Tenga en cuenta que para cada una de las $x \in G$, hay un subgrupo cíclico $\langle x \rangle$, que es abelian. Si hay un $x$ tal que $\langle x \rangle$ es infinito, $\langle x \rangle$ tiene infinidad de abelian subgrupos. Si no $x$ existe, debe ser infinitamente muchos distintas finito cíclico subgrupos $\langle x \rangle$, ya que de lo contrario $G$ sería la unión finita de conjuntos finitos.

Answer 2

Llevar el producto a $G = S_3 \times \Bbb Z$, que no es abelian, ya que tiene un no-abelian subgrupo, es decir,$S_3$.

Sin embargo, $\{1\} \times n\Bbb Z$ son abelian subgrupos de $G$ por cada $n \geq 0$.

Answer 3

Considerar los subgrupos de $\mathrm{SO}(3)$ (visualizado como las simetrías de rotación de la $2$-esfera) en representación de las rotaciones alrededor de un eje fijo a través del centro de esta esfera. Hay infinitamente muchas opciones de este eje, cada uno de los cuales especifica un (abelian) subgrupo isomorfo a $\mathrm{U}(1)$.

Answer 4

El conjunto de $2\times 2$ matrices con entradas real no es Abelian cuando el operador de multiplicación, pero tiene un número infinito de Abelian subgrupos.

Por ejemplo, considere que cualquier subgrupo de la forma $$\{A | A = \begin{bmatrix} p^n & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix} \mbox{ where } n\in \mathbb{Z}\}$$ donde $p$ es una constante y puede ser cualquier prime.