Caracterización del espacio tangente en términos de vectores de velocidad

Question

A continuación, un ejercicio de Guillemin-Pollack:

Una curva en un colector $X$ es un mapa suave $t\mapsto c(t)$ de un intervalo de $\mathbb R$ en $X$ . El vector velocidad de la curva $c$ en el momento $t_0$ , denotado como $dc/dt(t_0)$ se define como el vector $dc_{t_0}(1)\in T_{x_0}(X)$ , donde $x_0=c(t_0)$ y $dc_{t_0}: \mathbb R\rightarrow T_{x_0}(X)$ . Demostrar que todo vector en $T_x(X)$ es el vector de velocidad de alguna curva en $X$ y a la inversa.

Para la primera parte, me dieron la pista que dice que hay que definir la curva $c$ como una composición de dos mapas, $(a,b)\rightarrow U\rightarrow X$ donde $\phi: U\rightarrow X$ es una parametrización local en torno a $x\in X$ con $\phi(y)=x$ y el mapa $\gamma: (a,b)\rightarrow U$ viene dada por $t\mapsto tu+y$ para un adecuado $u$ .

Tengo problemas para rellenar los detalles en esta pista. Así que dado $v\in T_x(X)$ Por definición, se encuentra en la imagen de $d\phi_y$ . Así que $v=d\phi_yu$ . Este $u$ puede ser elegido para estar en $u$ desde $d\phi_y$ es un isomorfismo (porque $\phi$ es un difeomorfismo). Pero no entiendo por qué $tu$ se encuentra en $U$ cuando $t$ se encuentra en un intervalo adecuado $(a,b)$ ? $U$ no tiene por qué ser un subespacio vectorial del espacio ambiente $\mathbb R^k.$ Modulo este hecho, todo está claro, ya que $$d(\phi\circ \gamma)_0=d\phi_y\circ d\gamma_0$$ y $$d(\phi\circ \gamma)_0(1)=d\phi_y(d\gamma_0(1))=d\phi_yu=v.$$

También, ¿cómo demostrar lo contrario? Si $v=dc/dt(t_0)=dc_{t_0}(1)$ entonces $v$ ciertamente se encuentra en la imagen de $dc_{t_0}$ . Pero para demostrar que $v\in T_x(X)$ tenemos que demostrar que $v$ se encuentra en la imagen de la diferencial de alguna parametrización local en algún punto.

Answer 1

Obsérvese que si $(U,f)$ es un gráfico que contiene $x_0$ , $f:U\rightarrow f(U)\subset \mathbb{R}^n$ es un difeomorfismo y $df_{x_0}^{-1}$ es un difeomorfismo, por lo que basta con demostrar que el resultado es cierto para un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ .