Ejemplos de espacios no medibles

Question

Quiero conocer algunos ejemplos de espacios topológicos que no son metrizables. Por supuesto, se pueden construir muchos espacios de este tipo, pero lo que busco realmente son espacios que sean importantes en otras áreas de las matemáticas, como el análisis o el álgebra. Sé que la mayoría de los espacios que surgen naturalmente en otras áreas de las matemáticas son metrizables debido al teorema de metrización de Urysohn. Pero aún así debe haber algunos ejemplos de espacios no metrizables, hasta ahora conozco los siguientes ejemplos:

1. Topología de Zariski
2. Topología débil* en $X^{*}$ si X es un espacio de Banach de dimensión infinita
3. El espacio vectorial topológico de todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\ \ $ bajo la convergencia puntual.

Se agradece su ayuda.

Answer 1

Los espacios de funciones a veces no son metrizables. Sea $X$ y $Y$ sean espacios topológicos, y $C(X,Y)$ sea el espacio de los mapas continuos de $X$ a $Y$ , topologizado en la topología abierta compacta. Entonces $C(X,Y)$ no tiene por qué ser metrizable (lo es si $X$ es un compacto, y $Y$ es un espacio métrico, es sin embargo).

Answer 2

Me gusta el ejemplo del espacio de la doble flecha. Tome el conjunto $[0,1] \times \{0,1\}$ con el orden lexicográfico. Entonces con la topología de orden este espacio es compacto, separable pero no metrizable.