Ejemplos de espacios no medibles

Question

Quiero conocer algunos ejemplos de espacios topológicos que no son metrizables. Por supuesto, se pueden construir muchos espacios de este tipo, pero lo que busco realmente son espacios que sean importantes en otras áreas de las matemáticas, como el análisis o el álgebra. Sé que la mayoría de los espacios que surgen naturalmente en otras áreas de las matemáticas son metrizables debido al teorema de metrización de Urysohn. Pero aún así debe haber algunos ejemplos de espacios no metrizables, hasta ahora conozco los siguientes ejemplos:

1. Topología de Zariski
2. Topología débil* en $X^{*}$ si X es un espacio de Banach de dimensión infinita
3. El espacio vectorial topológico de todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\ \ $ bajo la convergencia puntual.

Se agradece su ayuda.

Answer 1

El análisis funcional, y en particular la teoría de las álgebras de operadores, implica muchas topologías de este tipo. Por ejemplo, ni la topología del operador fuerte ni la del operador débil en $B(H)$ el álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert separable $H$ es metrizable (pero dan topologías metrizables cuando se restringen a conjuntos acotados). Véase la Artículo de Wikipedia para ver más ejemplos de este tipo.

Answer 2

La topología fuerte de Whitney en el espacio de mapas suaves $C^{\infty}(M;N)$ entre dos colectores no es metrizable a menos que $M$ es compacto (esto está muy relacionado con la respuesta de Thomas Roths). Dentro de este espacio, existe el subespacio de las funciones transversales a un submanifold dado $W \subset N$ . Este subespacio es denso, pero no secuencialmente denso, lo que me llevó a la confusión cuando aprendí topología diferencial.

Answer 3

Cualquier complejo simplicial localmente infinito.

Answer 4

También se puede pedir una forma más débil de metrizabilidad, donde las distancias se miden en cualquier campo ordenado (no necesariamente los reales). Un ejemplo de este tipo de campo ordenado más grande es el hiperreales http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperreal_number . Llamémosles $\mathbb{R}^*$ .

Por ejemplo, los hiperreales no son $\mathbb{R}$ -metrizable, pero son $\mathbb{R}^*$ -metrizable sólo con la configuración de $d(a,b):=|a-b|$ . Así que ya tenemos un ejemplo para un espacio no metrizable.

Dado cualquier campo ordenado $F$ y un $F$ -espacio medible $S$ . Entonces se puede encontrar una base local en cada punto $s\in S$ via $\{B_\varepsilon(s)| \varepsilon \in F,\varepsilon >0\}$ . Nótese que esta base está totalmente ordenada (bajo la inclusión).

Ahora considere el espacio $X:=\prod_{i\in I} \{0;1\}$ , donde $I$ es un conjunto incontable y que $x\in X$ sea un punto cualquiera. Se puede demostrar que no hay una base local en $x$ , que está totalmente ordenado. Así que este espacio no es metrizable para ningún campo ordenado $F$ .

Creo que esto es bastante sorprendente. Heurísticamente hablando, este espacio es demasiado grande para ser $\mathbb{R}$ -metrizable. Pero ni siquiera es $F$ - metrizable para mayores $F$ 's.

Demuestra que el teorema de metrización de Urysohns no se puede generalizar a $\mathbb{R}^*$ -métrica, es decir, una declaración como

"Un espacio regular de Hausdorff con una base para la topología de cardinalidad $\le$ ? es $ \mathbb{R}^*$ -metrizable. "

Answer 5

La línea de Sorgenfrey no es metrizable, ya que es separable pero no satisface el segundo axioma de contabilidad.