Ejemplos de espacios no medibles

Question

Quiero conocer algunos ejemplos de espacios topológicos que no son metrizables. Por supuesto, se pueden construir muchos espacios de este tipo, pero lo que busco realmente son espacios que sean importantes en otras áreas de las matemáticas, como el análisis o el álgebra. Sé que la mayoría de los espacios que surgen naturalmente en otras áreas de las matemáticas son metrizables debido al teorema de metrización de Urysohn. Pero aún así debe haber algunos ejemplos de espacios no metrizables, hasta ahora conozco los siguientes ejemplos:

1. Topología de Zariski
2. Topología débil* en $X^{*}$ si X es un espacio de Banach de dimensión infinita
3. El espacio vectorial topológico de todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\ \ $ bajo la convergencia puntual.

Se agradece su ayuda.

Answer 1

Desde mi punto de vista como analista, los espacios no medibles suelen surgir por una de las siguientes razones:

1. Fallo del axioma de separación: el espacio no es, por ejemplo, normal. Esto ocurre sobre todo cuando el espacio ni siquiera es Hausdorff (los espacios que son Hausdorff pero no son normales suelen ser demasiado exóticos como para que se planteen mucho). A menudo esto se debe a razones sencillas; por ejemplo, la topología está definida por una pseudometría como una seminorma. En este caso, solemos modular por pares de distancia cero e intentarlo de nuevo.

2. El espacio es demasiado grande: ejemplos como el ordinal incontable y la recta larga entran en este apartado. Pero siguen siendo localmente metrizables, por lo que solemos permitirlos si intentamos demostrar teoremas locales, pero los prohibimos para enunciados globales.

3. La topología es demasiado débil, y normalmente ni siquiera es contable en primer lugar, por lo que las secuencias no son suficientes para definir la topología. La mayoría de estos ejemplos se basan en una topología de producto o de convergencia puntual: la topología débil-* en el dual $X^{\ast}$ de un espacio de Banach $X$ el espectro de un $C^{\ast}$ -álgebra, compactificaciones de Stone-Čech, etc. (Y en realidad, en el primer caso, a menudo basta con mirar la bola unitaria de $X^*$ que es metrizable si $X$ es separable, que en las aplicaciones suele serlo). Como compensación, algún corolario del teorema de Tychonoff nos da algo de compacidad, que es probablemente la única razón por la que hemos aceptado aguantar una topología tan molesta y débil en primer lugar.

4. Alguien está abusando del lenguaje de la topología, por ejemplo la prueba "topológica" de Fürstenberg sobre la infinitud de los primos.

5. Me he metido en un seminario de geometría algebraica por error. Los analistas más gruñones pueden considerar que esto entra en el apartado anterior. ;-)

Answer 2

Cada espacio topológico finito que no es discreta no es Hausdorff y por tanto no es metrizable. Sin embargo, hay muchos espacios topológicos finitos: están en correspondencia uno a uno con conjuntos preordenados finitos.

Answer 3

No soy un experto, pero creo que el espacio de Distribuciones (en cualquier número de variables), (también conocido como funciones generalizadas, incluyendo la delta de Dirac, sus derivadas, etc.) como se utiliza en la teoría de las EDP, es un espacio vectorial topológico, pero no se puede medir aunque las secuencias son suficiente para hacer todo.

Sin embargo, el subespacio de templado (Schwartz), tal como se utiliza en el análisis de Fourier, es metrisable; es un espacio de Fréchet.

Answer 4

Otro espacio no metrizable que es común en la topología algebraica es $\mathbb{R}^{\infty}$ con la topología del colímite. Un subconjunto $U$ es abierto si la intersección con cualquier $\mathbb{R}^n$ es abierta en la topología habitual. Se trata de un espacio vectorial topológico localmente convexo, pero sus propiedades me parecen bastante feas.

Reclamación: $\mathbb{R}^{\infty}$ no es metrizable.

Prueba: Supongamos que existe una métrica $d$ en $\mathbb{R}^{\infty}$ que define la topología. Sea $e_k$ sea el $k$ -vector base. Existe una secuencia $t_k \in (0, \infty)$ tal que $d(0,t_k e_k)$ converge a cero. Dicha secuencia se puede construir de la siguiente manera. Si $d(0,e_k) \leq 1/k$ , toma $t_k=1$ . En caso contrario, la función $d_k:[0,1] \to \mathbb{R}$ , $t \mapsto d(0,t e_k)$ es continua, $d_k(0)=0$ De ahí que exista $t_k$ con $d(0,t_k e_k)=1/k$ . La secuencia $v_k:=t_k e_k$ converge a $0$ en $\mathbb{R}^{\infty}$ . Sea $f:\mathbb{R}^{\infty} \to \mathbb{R}$ sea la función lineal dada por $f(e_k)=1/t_k$ . La restricción de $f$ a cualquier $\mathbb{R}^n \subset \mathbb{R}^{\infty}$ es claramente continua y, por tanto, por la definición de la topología del colímite, $f$ es continua (de hecho, cualquier mapa lineal de $\mathbb{R}^{\infty}$ a un espacio vectorial topológico es continua). En particular, si $v_k \to 0$ en $\mathbb{R}^{\infty}$ entonces $f(v_k)\to 0$ . Pero la secuencia $v_k$ construido arriba satisface $f(v_k)=1$ contradicción.

Answer 5

Porque nadie lo ha mencionado, y en mi opinión, ésta es una de las mayores sorpresas que la topología teórica de conjuntos ha dado a las matemáticas, aquí está:

Lo siguiente es independiente de ZFC: Todo espacio normal de Moore es metrizable.

Antecedentes

Técnicamente hablando, un espacio de Moore es un espacio regular de Hausdorff desarrollable. Para ver que los espacios de Moore pueden darse en la naturaleza, y tener una idea de lo que son, considere mi respuesta a esta pregunta Anillos topológicos .

Algunos resultados

• Suponiendo que $CH$ hay un espacio normal de Moore que no es metrizable.

Referencia: William G. Fleissner's "Espacio normal no metrizable de Moore a partir de la hipótesis del continuo o la inexistencia de modelos internos con cardinales medibles"

• Si todo espacio normal de Moore es metrizable, entonces existe un modelo interno con un cardinal medible

Referencia: William G. Fleissner's "Si todos los espacios normales de Moore son metrizables, entonces existe un modelo interno con un cardinal medible"