Una solicitud de hoja de ruta de aprendizaje: Del bachillerato a los estudios de grado medio

Question

Estimada comunidad de MathOverflow,

Dentro de un año, creo que empezaré mis estudios de grado en una universidad holandesa. He decidido estudiar matemáticas. No sé muy bien por qué, pero me fascina este tema. Creo que el libro de William Dunham ' Viaje a través del genio ' ha lanzado esta interminable fascinación.

Sin embargo, no puedo esperar otro año entero siguiendo el currículo escolar normal y sin aprender nada de lo que Dunham describe en su libro. Nuestro libro de matemáticas en la escuela es uno muy "orientado al cálculo", creo. No creo que sea 'aburrido', pero tampoco es muy divertido, comparado con la evaluación de $\zeta(2)$ por ejemplo. Por eso acepté un "trabajo" como tutor de niños más pequeños para ayudarles a aprobar los exámenes. Quería ganar dinero (he reunido unos 300 euros hasta ahora) para comprar algunos libros de matemáticas nuevos. Ya he decidido comprar el libro ' Introducción a las matemáticas: Álgebra y Análisis ' que debería proporcionarme algunos conocimientos sobre los fundamentos del álgebra lineal, el álgebra, la teoría de conjuntos y las secuencias y series. Pero, ¿qué debería leer a continuación? ¿Qué libros debería comprar con esta cantidad de dinero para adquirir una base matemática firme? ¿Y en qué orden? (Aunque el dinero no es un gran problema, creo que mi padre me proporcionará algo de dinero extra si consigo convencerle de que es un libro realmente bueno). ¿Debería comprar libros separados de Álgebra Lineal, Álgebra y un libro de cálculo, como la mayoría de las páginas web de las universidades sugieren que compren sus futuros estudiantes?

Fíjate que para mí es importante que los libros sean autocontenidos, es decir, que sean buenos libros de autoaprendizaje. Tampoco me importan los problemas en los libros, siempre y cuando los libros contengan (al menos una parte razonable) las respuestas (o un sitio web donde pueda buscar algunas respuestas).

No estoy pidiendo el más rápido manera de poder adquirir conocimientos matemáticos a nivel (universitario), pero la mejor Como comentó una vez Terence Tao (en su blog): "Las matemáticas no son un sprint, sino un maratón".

Por último, pero no menos importante, me gustaría añadir que me interesan especialmente las series infinitas. Mucha gente me ha recomendado el libro de Hardy ' Serie Divergente (por las preguntas que hago) pero no creo que posea los conocimientos previos necesarios para poder entender su contenido. Sin embargo, ¡me gustaría entenderlo!

Answer 1

Soy un estudiante de grado actual y recuerdo la sensación de querer saber más antes de empezar la carrera. Mi universidad envió una carta recomendando que todos compráramos un determinado texto de análisis antes de empezar el curso, y que si queríamos hacer algún trabajo antes del trimestre ese era el libro que debíamos leer... Basta con decir que el libro era horrible, y ni siquiera era particularmente útil una vez que había empezado en la universidad... una completa pérdida de mi tiempo y dinero.

Aunque esto se inclina un poco hacia mis propios intereses, si está interesado en la combinatoria, le recomiendo plenamente "Combinatoria y teoría de grafos", de Harris, Hirst y Mossinghoff. El libro es ciertamente legible para un estudiante entusiasta, y realmente cubre los fundamentos de la enumeración combinatoria y temas seleccionados en la teoría de grafos. Además, el libro está escrito con gran claridad y un buen sentido del humor. Empieza a un nivel básico, pero va ampliando el material que no cabría en un módulo de segundo curso de un trimestre.

Otro texto del que no puedo hablar mejor es "Pruebas del Libro" de Aigner y Ziegler. Se trata de un compendio de pruebas interesantes y sencillas tomadas de muchas áreas de las matemáticas. El título hace referencia a una frase de Paul Erdos. Para Erdos, una prueba de libro era una solución bella y elegante a un problema... así que eso es exactamente lo que se encuentra aquí. No todo será accesible inmediatamente, pero sí mucho, y para cuando termines el primer año deberías estar preparado para entenderlo todo.

Por último, desde un enfoque más suave: Las columnas de Martin Gardner en Scientific American han sido recopiladas en varios volúmenes que están disponibles. Gardner escribía a menudo sobre matemáticas puras, pero también a veces sobre filosofía de la ciencia o física. Los artículos están escritos de manera que el lector no necesita conocimientos técnicos, pero yo sigo leyendo los libros sólo para enterarme un poco de algo que no he estudiado. Incluso si se trata de algo que sí conozco, leer a Gardner sigue siendo un gran ejercicio para ver cómo trabajan realmente los buenos profesores: y no cabe duda de que Gardner fue un excelente educador.

Answer 2

Cálculo: Micheal Spivak's Cálculo (la presentación teórica definitiva del cálculo),Donald Estep's Análisis práctico en una variable y la de Gilbert Strang Cálculo (los 2 últimos para las aplicaciones). Strang está disponible en línea de forma gratuita.

Álgebra/Álgebra lineal: Un curso de álgebra de E.B. Vinberg (ofrece una introducción integrada al álgebra lineal y abstracta con muchas aplicaciones, especialmente a la geometría: es muy fácil de leer y alcanza un nivel muy alto de cobertura al final), Michael Artin's Álgebra (más intenso, pero de espíritu similar, una segunda edición que saldrá a finales de este año, no puedo esperar)

Teoría de la categoría: Teoría de la categoría de Steven Awodey (la introducción definitiva para principiantes; no recomendaría nada más para un principiante)

Topología: Primer curso de topología: continuidad y dimensión de John McCleary (la mejor introducción al tema)

Visión general de las matemáticas: Matemáticas: su contenido, sus métodos y su significado de A.N.Kolomogrov,etc. (El gran clásico de 3 maestros rusos de las matemáticas, le dará la mejor visión de pájaro del tema)

Esto debería servirte para empezar y darte las herramientas necesarias para seguir adelante. Buena suerte y bienvenido al gremio de hechiceros.

Answer 3

Algunos libros que disfruté como estudiante de primer año:

Álgebra Abstracta de Dummit y Foote: He oído a mucha gente hablar mal de este texto. Sin embargo, desde la perspectiva de alguien que está interesado en recoger los fundamentos del álgebra, en mi opinión este es el texto.

Introducción a los Múltiples Topológicos por Lee: No dejes que la palabra colector te asuste. Este libro es esencialmente un libro de introducción a la topología con todas las partes aburridas omitidas. Sé que es un GTM, pero pude cogerlo durante mi primer año de universidad y aprender mucha topología con él.

Topología de Munkres: Este es "el" libro para aprender topología de conjuntos de puntos. Es un poco más suave que el de Lee y repasa toda la teoría de conjuntos relevante que puedas necesitar (a menos que te conviertas en un teórico de conjuntos). Lo compré durante mi primer año en la universidad y lo he abierto regularmente desde entonces.

Answer 4

Lo que sigue es sobre todo una lista de libros que me recomendaron como los mejores en el área respectiva quienes me enseñaban matemáticas en Moscú (con algunas adiciones que encontré después).

En general, grandes libros introductorios (pero infinitamente lejos de ser inútiles):

"¿Qué son las matemáticas?" de Courant y Robbins

"Charlas de matemáticas para estudiantes universitarios" por Serge Lang

Análisis real: "Principios del análisis matemático" de Walter Rudin

"Cálculo en colectores" de Spivak

Análisis complejo: "Teoría elemental de las funciones analíticas de una o varias variables complejas" de Henri Cartan

Álgebra lineal: Conferencias sobre álgebra lineal por I.M.Gelfand y Álgebra lineal y geometría por A.I.Kostrikin y Yu.I.Manin

Gran introducción a varias ideas de álgebra y topología: Teorema de Abel en Problemas y Soluciones por Alekseev. Otra ventaja de este libro, así como del "Libro de problemas de álgebra lineal" de Halmos, mencionado en otras respuestas, es que ofrece un conjunto equilibrado de problemas, y una de las formas más eficaces de aprender cosas nuevas es la resolución de problemas.

Álgebra: "Álgebra" de Serge Lang

Ecuaciones diferenciales: "Ecuaciones diferenciales ordinarias" de V.I.Arnold

Geometría/mecánica: "Métodos matemáticos de la mecánica clásica" de V.I.Arnold

Topología: "Primeros conceptos de topología" de Steenrod y Chinn

Teoría de las categorías: en parte a partir del mencionado "Álgebra" de Lang, en parte a partir de Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías por Lawvere y Schanuel

Más álgebra: "Álgebras asociativas" de Richard Peirce

Álgebra homológica: "Métodos de álgebra homológica" de S.I.Gelfand y Yu.I.Manin

Topología homotópica: "Topología homotópica" de Fuchs, Fomenko y Gutenmacher

Answer 5

Hay (hoy en día) muchos libros populares sobre matemáticas. No conozco ninguno muy bueno. Kac y Ulam, Matemáticas y Lógica , es un estilo más antiguo de libro popular, bastante bueno creo, y en Google Books. (Me avergonzaría si no mencionara al menos a Timothy Gowers, Las matemáticas: Una introducción muy breve .)

Hay muchos libros de texto y libros elaborados a partir de apuntes de clase. La mayoría de ellos no son tan emocionantes.

Realmente necesitas un libro de análisis, otro de álgebra y otro de geometría o topología. Estos son para las ideas básicas. Análisis de Fourier de Thomas Körner está en su mayoría en Google Books: Körner es el tipo de escritor adecuado para sus necesidades. He aprendido mucho de Serge Lang, Álgebra una edición temprana. Pero su escritura ahora me parece extraña, con un sesgo hacia la teoría de los números, que está bien en realidad, y las ediciones posteriores son muy diferentes. La geometría y la topología son difíciles. Tal vez el libro de Penrose sobre todo podría ayudar con los conceptos (sesgo hacia la física). Cualquier libro que te ayude a entender lo que es un grupo de Lie. Ninguno de estos escritores es "ortodoxo".

Clásicos: Hardy's Serie Divergente que mencionas, pero es muy difícil de leer, quizás pocos puedan realmente hoy en día. El de Weyl Grupos clásicos siempre ha sido imposible? Serre, Curso de aritmética Sí.