He aquí algunos libros introductorios que me han resultado útiles. Estoy en una situación algo similar a la tuya, supongo: un año mayor, pero habiendo tenido que aprender las matemáticas que conozco de forma mayoritariamente independiente (aunque he tenido la suerte de poder hablar con varios matemáticos en varias ocasiones, así como de hacer un par de cursos). Para las más avanzadas, sin duda sería la persona equivocada para preguntar. De todos modos, aquí están algunos de los libros que he usado (o estoy usando actualmente).
Álgebra: Creo que Herstein's Temas de Álgebra se recomienda a menudo como un buen libro de texto de introducción a los estudios universitarios (del que aprendí material). El libro de Lang Álgebra es un buen seguimiento, pero creo que mucha gente (ciertamente incluyéndome a mí) se alejaría del tema si Lang fuera lo primero que abriera.
Análisis: Rudin's Principios del análisis matemático es genial, pero la verdadera diversión está en Análisis real y complejo (no es necesario leer todo el primero para entrar en el segundo). Además, el libro de Peter Lax Análisis funcional es una lectura muy agradable.
Geometría diferencial: Personalmente, me resultó muy difícil leer la obra de Spivak Cálculo sobre Múltiples porque no había mucha motivación (como, por ejemplo, por qué uno definiría un espacio tangente cuando sólo estás trabajando con subconjuntos abiertos de Rn ?), pero el volumen 1 de su Introducción completa a la geometría diferencial tiene un material similar con mucha más explicación y motivación.
Teoría de los números: Mi primera introducción a la teoría de los números fue el libro de Niven y Zuckerman. El libro de Serre Curso de aritmética también es muy interesante, pero yo lo consideraría más bien una segunda o tercera lectura (tiendo a encontrar los libros de Serre más bien escuetos y, en consecuencia, me cuesta trabajo leerlos, pero esto es probablemente sólo un defecto personal). Por ejemplo, hay que saber qué es un límite proyectivo para leerlo.
Me gustaría conocer una buena introducción a la teoría algebraica de los números. Las que he visto tienden a ser algo difíciles (es decir, presuponen bastante material del álgebra de Lang, como la familiaridad con la localización, los anillos noetéricos, etc., temas que podrían omitirse en un primer curso de álgebra abstracta). Creo que Lang Teoría algebraica de los números es un gran libro, pero me costó muchísimo tiempo antes de que todo empezara a tener algún sentido. Y hay otros libros "elementales" sobre teoría algebraica de números que nunca llegan a nada interesante.
Irlanda-Rosen's Introducción clásica a la teoría moderna de los números tiene muchas cosas divertidas y es un gran libro para leer después de entender el álgebra abstracta elemental (me quito el sombrero ante Vladimir Dotsenko por señalar esto; había leído el libro y luego lo había olvidado). También contiene un poco de teoría algebraica de los números.
Álgebra lineal: lo aprendí en el libro de Hoffman y Kunze, pero creo que el tema es más bonito en un contexto más abstracto (por ejemplo, después de haber hablado de anillos).
Informática: ¡Espera, espera! Creo que sería negligente si no mencionara a Sipser Introducción a la teoría de la computación, que tiene que ser uno de los libros más divertidos que he visto y es básicamente matemáticas.
Lógica: Ebbinghaus, Frum y Thomas tienen un libro muy bueno sobre lógica matemática en la serie UTM.
Topología: El libro de Dugundji es un poco antiguo, pero la exposición me pareció muy nítida y amena. Al mismo tiempo, supongo que no es bueno para la intuición geométrica. He oído hablar muy bien de los libros de Munkres, pero no los he leído (todavía).
Los libros de la serie de monografías matemáticas de Carus son todos accesibles, concisos y amenos; el de Krantz Análisis complejo: El punto de vista geométrico es uno de los que estoy disfrutando mirando ahora mismo.
Otro consejo: No es necesario terminar un libro para "graduarse" en otro. Saltar de un lado a otro es algo que hacen muchos matemáticos, y uno nunca entiende "realmente" un área de las matemáticas (al menos, no como estudiante), así que es más eficiente pasar a otras cosas. Tampoco es necesario saberlo todo. (Esto no es yo dando consejos; soy yo regurgitando algo que un matemático muy respetado me dijo hace tiempo, y fue toda una revelación para mí).
Evidentemente, no sé si estás cerca de una biblioteca universitaria y tienes privilegios de préstamo; da la casualidad de que vivo cerca de tres (aunque de escuelas de artes liberales sin departamento de matemáticas de posgrado). Si no es así, te recomiendo encarecidamente que compres libros de segunda mano, ya que, por alguna razón, los libros de texto de matemáticas tienden a ser ridículamente caros. Afortunadamente, hay muchos recursos buenos en la web: Sitio de James Milne es excelente, por ejemplo.
De todos modos, si necesita más, el bibliografía en mi blog tiene una lista más larga (pero las que están aquí probablemente te mantendrán ocupado al menos durante un tiempo). También puedes intentar ponerte en contacto con un profesor de una universidad cercana para ver si está dispuesto a tutelarte para un proyecto de investigación; puede que haya programas a través de los cuales esto sea posible (aunque reconozco que no tengo ni idea de cómo funciona en Europa). La ventaja de esto es que acabarás absorbiendo un montón de matemáticas nuevas por el camino, además de comprender mejor lo que ya sabes.
