¿Cuál es la suma de los $81$ productos en la $9 \times 9$ multiplicación de la cuadrícula?

Question

Lo que es una manera fácil de resolver este problema? Creo que el valor de cada casilla es el producto de $x$$y$.

Supongamos que el 9 × 9 multiplicación de cuadrícula, que se muestra aquí, se llena completamente. ¿Cuál sería la suma de los 81 productos?

Answer 1

La suma de los productos de la fila superior acaba de ser $(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=45$

A continuación, la siguiente fila sería $(2+4+6+8+10+12+14+16+18) = 2\times45 = 90$

Así que las dos filas superiores suma a $(1+2)\times 45 = 135$

A continuación, se hace evidente que el pleno de la suma de los productos es el producto de la suma, es decir. $45\times45 = 2025$

Answer 2

La suma es esencialmente $$\sum_{a=1}^9 \sum_{b=1}^9 ab =\sum_{a=1}^9 a \sum_{b=1} ^9 b=\sum_{a=1}^9 a \frac{9\cdot 10}{2}=\left(\frac{9\cdot 10}{2}\right)^2$$

Answer 3

Queremos encontrar los siguientes: $$\sum_{i=1}^9 \sum_{j=1}^9 ij$$ El Factor de la $i$ desde el primer suma: $$\sum_{i=1}^9 i\left(\sum_{j=1}^9 j\right)$$ Tenga en cuenta que $\sum_{j=1}^9 j=45$. $$\sum_{i=1}^9 i\cdot 45$$ El Factor de la $45$: $$45\left(\sum_{i=1}^9 i\right)$$ Tenga en cuenta que $\sum_{i=1}^9 i=45$. $$45\cdot 45=2025$$

Answer 4

Utilizar el principio distributivo. La suma de las entradas en el $2$ columna $2$ veces la suma de los números de $1$ a través de $9$, por lo que la suma de todas las entradas es la suma de los números de $1$ a través de $9$ veces (¿qué?)

Answer 5

Vamos a demostrar por inducción que la suma de ${n}\times{n}$ cuadrícula es $\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}$:

En primer lugar, demostrar que esto es cierto para $n=1$:

$\sum\limits_{x=1}^{1}\sum\limits_{y=1}^{1}xy=\frac{1^4+2\cdot1^3+1^2}{4}$

Segundo, se supone que esto es cierto para $n$:

$\sum\limits_{x=1}^{n}\sum\limits_{y=1}^{n}xy=\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}$

Tercero, demostrar que esto es cierto para $n+1$:

$\sum\limits_{x=1}^{n+1}\sum\limits_{y=1}^{n+1}xy=$

$\color\red{\sum\limits_{x=1}^{n}\sum\limits_{y=1}^{n}xy}+\left(\sum\limits_{x=1}^{n}x(n+1)\right)+\left(\sum\limits_{y=1}^{n}y(n+1)\right)+(n+1)(n+1)=$

$\color\red{\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}}+\left(\sum\limits_{x=1}^{n}x(n+1)\right)+\left(\sum\limits_{y=1}^{n}y(n+1)\right)+(n+1)(n+1)=$

$\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}+(n+1)\left(\sum\limits_{x=1}^{n}x\right)+(n+1)\left(\sum\limits_{y=1}^{n}y\right)+(n+1)(n+1)=$

$\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}+(n+1)\left(\frac{n^2+n}{2}\right)+(n+1)\left(\frac{n^2+n}{2}\right)+(n+1)(n+1)=$

$\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}+\frac{n^3+2n^2+n}{2}+\frac{n^3+2n^2+n}{2}+n^2+2n+1=$

$\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}+n^3+2n^2+n+n^2+2n+1=$

$\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}+n^3+3n^2+3n+1=$

$\frac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4}=$

$\frac{(n+1)^4+2(n+1)^3+(n+1)^2}{4}$

Por favor, tenga en cuenta que la hipótesis se utiliza sólo en la parte marcada con rojo.

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Por lo tanto, la suma de un ${9}\times{9}$ cuadrícula es $\frac{9^4+2\cdot9^3+9^2}{4}=2025$.