Fórmula de Kubo para el efecto Hall cuántico

Question

Estoy tratando de entender la fórmula de Kubo para la conductividad eléctrica en el contexto del efecto Hall cuántico.

Mi problema es que varios trabajos, por ejemplo el famoso TKNN (1982) papel, o una elaboración de Kohmoto (1984) escribe las entradas diagonales del tensor de conductividad en la forma

$$ \sigma_{xy}(\omega \to 0) = \frac{ie^2}{\hbar} \sum_{E^a < E_F < E^b} \frac{\langle a|v_x|b \rangle \langle b|v_y|a \rangle - \langle a|v_y|b \rangle \langle b|v_x|a \rangle}{(E^a - E^b)^2} .$$

Este es el límite estático $\omega\to 0$ y la baja temperatura $T\to 0$ . La suma va sobre todos los estados propios $|a\rangle$ y $|b\rangle$ del Hamiltoniano de una sola partícula. $E_F$ es la energía de Fermi. $v_x$ y $v_y$ son los operadores de velocidad de una partícula.

Sin embargo, estos documentos no derivan esta ecuación, lo cual es lamentable porque la fórmula de Kubo no suele presentarse de esta forma. En su lugar, he encontrado (y he conseguido rederivar) la siguiente variación

$$ \sigma_{xy}(\omega+i\eta) = \frac{-ie^2}{V(\omega + i\eta)} \sum_{a,b} f(E^a) \left( \frac{\langle a|v_x|b \rangle \langle b|v_y|a \rangle}{\hbar\omega + i\eta + E^a - E^b} + \frac{\langle a|v_y|b \rangle \langle b|v_x|a \rangle}{-\hbar\omega - i\eta + E^a - E^b} \right).$$

Esta es la fórmula (13.37) de Ashcroft, Mermin aunque en realidad no lo demuestran. $f(E)$ es la distribución de Fermi. Una buena derivación se da en Czycholl (en alemán).

Ahora, mi pregunta es, obviamente

¿Cómo derivar la primera fórmula de la segunda?

Puedo ver que la primera ecuación surge como el término lineal al escribir la suma como una serie de potencias en $\omega$ pero, ¿por qué no diverge el término constante?

Answer 1

La primera fórmula se deduce de la segunda si dejamos que $\omega\to0$ . Para verlo, expande las fracciones como

$$ \frac1{\pm\hbar\omega + E^a - E^b} = \frac1{E^a-E^b}\left(1 \mp \frac{\hbar\omega}{E^a-E^b}\right) + \mathcal O(\omega^2)$$

para obtener $\sigma_{xy} = \sigma^1 + \sigma^2$ como la suma de un término potencialmente divergente

$$ \sigma^1 = \frac{-ie^2}{V\omega} \sum_{a,b} f(E^a) \frac{\langle a|v_x|b \rangle \langle b|v_y|a \rangle + \langle a|v_y|b \rangle \langle b|v_x|a \rangle}{E^a - E^b} $$

y un término que se parece a la primera fórmula

$$ \sigma^2 = \frac{-ie^2\hbar}{V} \sum_{a,b} f(E^a) \frac{- \langle a|v_x|b \rangle \langle b|v_y|a \rangle + \langle a|v_y|b \rangle \langle b|v_x|a \rangle}{(E^a - E^b)^2} .$$

Para ver que el primer trimestre desaparece en lugar de divergir, tenemos que utilizar la ecuación de movimiento de Heisenberg $v_x = \frac{d}{dt}x = [H_0,x]$ que da

$$ \langle a | v_x | b \rangle = \langle a | H_0 x - x H_0 | b \rangle = (E^a-E^b) \langle a | x | b \rangle $$

y por lo tanto

$$ \langle a|v_x|b \rangle \langle b|v_y|a \rangle + \langle a|v_y|b \rangle \langle b|v_x|a \rangle = (E^a-E^b) (\langle a|x|b \rangle \langle b|v_y|a \rangle - \langle a|v_y|b \rangle \langle b|x|a \rangle) .$$

Los factores $(E^b-E^b)$ se cancelan y la suma restante sobre $b$ se convierte en una suma sobre la identidad $\sum_b |b\rangle\langle b| = 1$ . Así, llegamos a

$$ \sigma^1 = \frac{-ie^2}{V\omega} \sum_{a,b} f(E^a) \left(\langle a|xv_y - v_yx |a \rangle \right) = 0 .$$

ya que el conmutador $[x,v_y]$ desaparece.

Para ver que el segundo mandato es correcta, tenemos que acertar con los índices de la suma. Para ello, tenemos que reordenar la suma para obtener

$$ \sigma^2 = \frac{ie^2\hbar}{V} \sum_{a,b} (f(E^a)-f(E^b))\frac{\langle a|v_x|b \rangle \langle b|v_y|a \rangle}{(E^a - E^b)^2} .$$

En el límite $T\to0$ la diferencia de las distribuciones Fermi-Dirac $f(E^a)-f(E^b)$ será igual a

• $1$ si $E^a < E_F < E^b$
• $-1$ si $E^b < E_F < E^a$
• $0$ De lo contrario,

Usando esto y reordenando la suma de nuevo se obtiene la fórmula de Kubo en la primera forma.

Answer 2

Una buena derivación de la segunda fórmula se encuentra en http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/kintheory/four.pdf