Probabilidad de que una secuencia de eventos ocurra al menos una vez en n ensayos

Question

Considere un injusto moneda lanzada $n$ tiempos. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente secuencia ocurra al menos una vez? (por ejemplo)

H T T H

Probabilidad de H es del 75%, T es del 25%. Los eventos son independientes.

Mis intentos:

Mi limitado conocimiento me dice que la probabilidad de que ocurra en general es $0.75 * 0.25 * 0.25 * 0.75 = 0.035$

Entonces he visto una fórmula general para la probabilidad de que el evento ocurra al menos x veces en n ensayos en este respuesta.

Pero, ¿y para una secuencia? He considerado tratar la secuencia como un único evento, y que los ensayos se definan como un múltiplo del tamaño de la secuencia. Es decir, si la secuencia tiene 4 eventos, y hay 20 ensayos, entonces considere que busca la secuencia-evento en 20/4 = 5 ensayos. Pero esto parece excluir la posibilidad de que la secuencia comience en cualquier lugar, no sólo en múltiplos de 4.

¿Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Denota por $p(n)$ la probabilidad aludida en la pregunta, entonces por $q_0(n):=1-p(n)$ la probabilidad a priori de que no véase $HTTH$ en $n\geq0$ ensayos, entonces por $q_1(n)$ , $q_2(n)$ y $q_3(n)$ la probabilidad de que no véase $HTTH$ en $n$ ensayos, dado que ya tenemos $H$ , $HT$ , resp.., $HTT\>$ "en la pila". Combine el $q_i(n)$ al vector columna ${\bf q}(n):=\bigl(q_i(n)\bigr)_{0\leq i\leq 3}$ . Las ecuaciones $$\eqalign{ q_0(n)&={3\over4}q_1(n-1)+{1\over4}q_0(n-1)\cr q_1(n)&={3\over4}q_1(n-1)+{1\over4}q_2(n-1)\cr q_2(n)&={3\over4}q_1(n-1)+{1\over4}q_3(n-1)\cr q_3(n)&={1\over4}q_0(n-1)\cr}$$ se puede condensar en $${\bf q}(n)=\left[\matrix{{1\over4}&{3\over4}&0&0\cr 0&{3\over4}&{1\over4}&0\cr 0&{3\over4}&0&{1\over4}\cr {1\over4}&0&0&0\cr}\right]\>{\bf q}(n-1)\ ,\tag{1}$$ y tenemos la condición inicial ${\bf q}(0)=(1,1,1,1)=:{\bf 1}$ . Por desgracia, la matriz $A$ que aparece aquí tiene valores propios no deseados. Por lo tanto, buscamos una recursión para las probabilidades en cuestión. Estos son los números $$p(n)=1-q_0(n)=1-\bigl(A^n{\bf 1}\bigr)_0\qquad(n\geq0)\ .$$ Desde la teoría general de $(1)$ se deduce que la secuencia $n\mapsto q(n):=q_0(n)$ satisface una recursión de la forma $$q(n)=c_1 q(n-1)+c_2 q(n-2)+c_3 q(n-3)+ c_4 q(n-4)\ .$$ Dejo que Mathematica calcule ${\bf q}(n)$ hasta $n=7$ y luego calculó el $c_i$ mediante la resolución de un sistema lineal, utilizando los datos obtenidos. De este modo, obtuve $$q(n)= q(n-1)-{3\over64} q(n-3)+{3\over256} q(n-4)\ .$$ De ello se desprende que el $p(n)=1-q(n)$ satisfacen la recursión $$p(n)=0\qquad(0\leq n\leq 3)\ ,$$ $$p(n)=p(n-1)-{3\over64}p(n-3)+{3\over256}p(n-4)+{9\over256}\qquad(n\geq4)\ .$$ Se obtienen entonces los siguientes valores: $$\bigl(p(n)\bigr)_{n\geq0}=\left(0, 0, 0, 0, {9\over256}, {9\over128}, {27\over256}, {2277\over16384}, {11223\over65536}, {13257\over65536}, {243441\over1048576},\ldots\right)\ .$$

Answer 2

Esto puede resolverse planteándolo como un proceso de Markov con un estado final de " $HTTH$ se ha visto". El proceso permanece en ese estado final después de cualquier resultado posterior. Que los estados sean los siguientes. Estados $0$ a través de $3$ también asumen "el juego no ha terminado" ( $HTTH$ aún no se ha visto). Los números representan "pasos hacia el éxito".

S0. Estado inicial, o después de una última vuelta de $T$ que no siguió $H$ o $HT$ .

S1. La última vuelta fue $H$ pero esto $H$ no completó el $HTTH$ .

S2. Las dos últimas vueltas fueron $HT$ .

S3. Las tres últimas vueltas fueron $HTT$ .

S4. Las últimas cuatro vueltas fueron $HTTH$ .

Las probabilidades de transición son fáciles de calcular. Cada estado, excepto el estado final $S_4$ transiciones a algún estado (hay que pensar cuál) con probabilidad $0.25$ y otro estado con probabilidad $0.75$ . Por ejemplo, si el estado actual es $S_2$ (acaba de ver $HT$ ) y se voltea $T$ , se llega al estado $S_3$ . Si se voltea $H$ , vuelves al estado $S_1$ .

Como $S_4$ es un estado estable/final, $S_4$ transiciones a $S_4$ con probabilidad $1$ .

La matriz de transición completa es

$P=\left( \begin{array}{ccccc} \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

La probabilidad $p_{HTTH}(n)$ de terminar en el estado $S_4$ después de exactamente $n$ pasos a partir del estado $S_0$ es igual (este es un resultado directo del proceso de Markov) al $ij$ -a entrada de $P^n$ .

No puedo encontrar una forma cerrada para $p_{HTTH}(n)$ pero los primeros valores (calculados con Mathematica) son

$\frac{0}{4},\frac{0}{16},\frac{0}{64},\frac{9}{256},\frac{72}{1024},\frac{432}{4096},\frac{2277}{16384},\frac{11223}{65536},\frac{53028}{262144},\frac{243441}{1048576}$ .

He mostrado cada $p_{HTTH}(n)$ como una fracción con denominador $4^n$ que parece ser lo que el denominador sería para una forma cerrada. No puedo ver una forma cerrada, y la secuencia de numeradores no aparece de una OEIS buscar.