Número de particiones de un número en partes distintas.

Question

Dejemos que $\pi$ sea la partición de $n=a_1+a_2+...+a_r$ , donde $a_1\geq a_2 \geq ....\geq a_r\gt0$ . Demostrar que el número de particiones $\pi$ de $n$ con $a_r=1$ y $a_j-a_{j+1}$ = 0 o 1 para $1\leq j\leq r-1$ es igual a $p^d (n)$ es decir, el número de particiones de n en partes distintas.

Lo que tengo hasta ahora:

Puedo ver que desde $a_r=1$ y $a_j-a_{j+1}$ =0 o 1 por lo que poniendo j = r-1 tenemos $a_{r-1}=1$ . Del mismo modo, todos los $a_j$ debe ser 1. Esto implica que no hay dos $a_j$ son iguales. Por favor, ayuda

Answer 1

Set $$\epsilon_j=a_j-a_{j+1} \quad \text{ for } \quad 1\leq j\leq r-1.$$ Entonces tenemos
$$ a_{r-j}=1+\epsilon_{r-1}+\cdots +\epsilon_{r-j} \quad \text{ for } \quad 1\leq j\leq r-1,$$ así que $$ n=r+(r-1)\epsilon_{r-1}+ (r-2)\epsilon_{r-2}+\cdots +2\epsilon_2+\epsilon_1 $$ define una partición de $n$ con todas las partes distintas (ignorando los sumandos con $\epsilon_j=0$ ) y la parte más alta es $r$ . La correspondencia así definida es biyectiva: siga los mismos pasos en orden inverso.