¿Es necesario comprobar la solución al resolver una ecuación?

Question

Me encuentro con un extraño problema al resolver la siguiente ecuación para x e y
$$\frac{4x^2+(x^2+y^2-1)^2}{(x^2+(y-1)^2)^2}=1$$ $$4x^2+(x^2+y^2-1)^2=(x^2+(y-1)^2)^2$$ Al resolver los términos entre paréntesis, obtenemos
$$4y^3-8y^2+4y+4x^2y=0$$ $$4y(y^2-2y+1+x^2)=0$$ $$4y[(y-1)^2+x^2]=0$$ $$y=0 \space or \space (y-1)^2+x^2=0$$ Así que una solución es $y=0$ .
$$\text{if}\space(y-1)^2+x^2=0\,\space \text{then} \space y=1\space \text{and}\space x=0$$ Pero si trato de poner $y=1$ y $x=0$ en la ecuación original, obtengo $\frac{0}{0}$ que no es $1$ .
Así que quiero preguntar es $(y=1,$ $x=0)$ ¿solución o no?

Answer 1

$(x,y)=(0,1)$ no es una solución. \begin{align*} &\frac{4x^2+(x^2+y^2-1)^2}{\left(x^2+(y-1)^2\right)^2}=1\\ \iff&\begin{cases}4x^2+(x^2+y^2-1)^2=\left(x^2+(y-1)^2\right)^2\\\left(x^2+(y-1)^2\right)^2\neq0\end{cases} \\ \N - La vida en el mundo de los negocios. \begin{cases}y\left(x^2+(y-1)^2\right)=0\\\left(x^2+(y-1)^2\right)^2\neq0\end{cases}\\ \iff&\begin{cases}y=0\\x\neq0\hbox{ or }y\neq1\end{cases} \N - y=0 \fin{align*}