Dejemos que $R$ sea un PID y $M$ un edificio finitamente generado $R$ -módulo. Sea $F$ sea el campo de fracciones de $R$ y $P = F/R.$ Dejemos que $M^{*}$ = $\mathrm{Hom}_R(M, P).$ Supongamos que $M$ es la torsión. ¿Existe una función inyectiva en $M^*?$
Lo que he hecho hasta ahora ha sido dejar $M =\left <e_1, ..., e_n\right>$ y que $\phi(e_i) = 1/r_{e_i} + R$ donde $r_{e_i}$ es el aniquilador no nulo de $e_i.$ Pero no sé si esto funciona... ¿alguna pista?
La respuesta es:
$M^*$ contiene un morfismo inyectivo si y sólo si $M$ es un cíclico torsión $R$ -módulo, es decir $M \cong R/(a)$ para algunos $0 \neq a \in R$ .
La dirección hacia atrás es trivial, porque $R/(a) \cong \langle \frac{1}{a} \rangle \subset F/R$ .
La dirección de avance es la siguiente: Es bien sabido que cualquier submódulo finitamente generado de $F$ es cíclico, por lo que lo mismo ocurre con $P$ . En particular, una inyección $M \to P$ con $M$ generado finitamente implica que $M$ es cíclico.
El ingrediente principal, que
cualquier submódulo finitamente generado de $F$ es cíclico
está comprobado aquí .
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